Pravouhlý priestorový karteziánsky súradnicový systém

Transformácie priestorových pravouhlých súradnicových systémov

Transformácie lineárnych máp

Redukcia všeobecnej kvadratickej formy na kanonickú formu

Krivočiare súradnice

Všeobecné informácie o krivočiarych súradnicových systémoch

Krivkové súradnice na povrchu

Polárne súradnicové systémy a ich zovšeobecnenia

Priestorový polárny súradnicový systém

Cylindrický súradnicový systém

Sférický súradnicový systém

Polárne súradnice na povrchu

Kapitola 3. SÚRADNOVÉ SYSTÉMY POUŽÍVANÉ V GEODÉZII

Všeobecná klasifikácia súradnicových systémov používaných v geodézii

Zemské geodetické súradnicové systémy

Polárne súradnicové systémy v geodézii

Krivočiare elipsoidné geodetické súradnicové systémy

Určenie elipsoidných geodetických súradníc samostatnou metódou na určenie plánovanej a výškovej polohy bodov na zemskom povrchu

Prevod priestorových geodetických polárnych súradníc na elipsoidné geodetické súradnice

Prevod referenčných geodetických súradnicových systémov na globálne a späť

Priestorové pravouhlé súradnicové systémy

Vzťah medzi priestorovými pravouhlými súradnicami a elipsoidnými geodetickými súradnicami

Prevod priestorových pravouhlých referenčných súradníc na globálne a späť

Topocentrické súradnicové systémy v geodézii

Vzťah medzi priestorovým topocentrickým horizontálnym geodetickým súradnicovým systémom a priestorovými polárnymi sférickými súradnicami

Prevod topocentrických horizontálnych geodetických súradníc na priestorové pravouhlé súradnice X, Y, Z

Systémy rovinných pravouhlých súradníc v geodézii

Vzťah medzi plochými pravouhlými Gauss-Krugerovými súradnicami a elipsoidnými geodetickými súradnicami

Prevod plochých pravouhlých Gauss-Krugerových súradníc z jednej zóny do druhej

Prepočet plochých pravouhlých súradníc bodov miestnych geodetických konštrukcií do iných sústav plochých pravouhlých súradníc

Kapitola 4. SÚRADNOVÉ SYSTÉMY POUŽÍVANÉ V GEODETICKEJ ASTRONÓMII A VESMÍRNEJ GEODÉZII

Súradnicové systémy sférickej astronómie

Referenčné systémy v kozmickej geodézii

Hviezdne (nebeské) inerciálne geocentrické rovníkové súradnice

Greenwichský pozemský geocentrický priestorový pravouhlý súradnicový systém

Topocentrické súradnicové systémy

Kapitola 5. KOORDINATIZÁCIA OKOLITÉHO PRIESTORU NA ZAČIATKU XXI. STOROČIA V RUSKU

Systémy štátnych geodetických súradníc na začiatku 21. storočia.

Výstavba Štátnej geodetickej siete

LITERATÚRA

PRÍLOHA 1. RIEŠENIE PRIAMYHO GEODEZICKÉHO PROBLÉMU VO VESMÍRE

PRÍLOHA 2. RIEŠENIE INVERZNÉHO GEODEZICKÉHO PROBLÉMU VO VESMÍRE

PRÍLOHA 3. KONVERZIA GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L, H NA PRIESTOROVÝ PRAVOUHOLNÍK X, Y, Z

PRÍLOHA 4. PREVOD PRIESTOROVÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH SÚRADNÍC X, Y, Z NA GEODETICKÉ B, L, H

PRÍLOHA 5. KONVERZIA PRIESTOROVÝCH PRAVOUHOLNÍKOVÝCH SÚRADNÍC X, Y, Z SK-42 NA SÚRADNICE SYSTÉMU PZ-90

PRÍLOHA 6. PREVOD REFERENČNÉHO SYSTÉMU GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L, H DO SYSTÉMU GEODETICKÝCH SÚRADNÍC PZ-90 B0, L0, H0

PRÍLOHA 7. KONVERZIA PRIESTOROVÝCH POLÁRNYCH SÚRADNÍC SYSTÉMU S, ZГ, A NA TOPOCENTRICKÉ HORIZONTÁLNE GEODETICKÉ SÚRADNICE XT, UT, ZT

PRÍLOHA 8. KONVERZIA TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC HT, UT, ZT NA POLÁRNE PRIESTOROVÉ SÚRADNICE – S, ZГ, A

PRÍLOHA 9. KONVERZIA TOPOCENTRICKÝCH HORIZONTÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC XT, UT, ZT NA PRIESTOROVÉ PRAVOUHOLNÍKOVÉ SÚRADNICE X, Y, Z

PRÍLOHA 10. KONVERZIA ELIPSOIDÁLNYCH GEODETICKÝCH SÚRADNÍC B, L NA PLOCHÉ PRAVOUHLÉ GAUSS-KRUGEROVÉ SÚRADNICE X, Y

PRÍLOHA 11. KONVERZIA PLOCHÝCH PRAVOUHLÝCH GAUSSOVÝCH-KRUGEROVÝCH SÚRADNÍC X, Y NA ELIPSOIDÁLNE GEODETICKÉ SÚRADNICE B, L

(a 11 − λ1 )(a 22 − λ1 ) − a 12 a 21 = 0 ;

λ12- (a11+a22)A1+ (a11a22-a12a21) = 0.

Diskriminant týchto kvadratických rovníc je ³ 0, t.j.

D = (a 11 + a 22) 2 - 4 (a 11a 22 - a 12 a 21) = (a 11 - a 22) 2 + 4a 122 ³ 0.

Volajú sa rovnice (2.56), (2.57). charakteristické rovnice

matice a korene týchto rovníc sú vlastné hodnoty maticu A. Vlastné hodnoty nájdené z (2.57) dosadíme do (2.39), dostaneme

kanonická rovnica.

Je daný kvadratický tvar v tvare: F (x x ) = 5x 2				2x2.

Nájdite kanonickú formu tejto rovnice.

Pretože tu a 11 = 5; a21 = 2; a 22 = 2, potom charakteristická rovnica (2.56) pre tento kvadratický tvar bude mať tvar

5 - λ 2

2 2 - λ 1

Prirovnanie determinantu tejto maticovej rovnice k nule

(5 – λ)(2 – λ) – 4 = λ2 – 7λ + 6 = 0

a vyriešením tejto kvadratickej rovnice dostaneme λ1 = 6; λ2 = 1.

A potom kanonická forma tejto kvadratickej formy bude mať formu

F (x 1, x 2) = 6 x 12 + x 22.

2.3. Krivočiare súradnice

2.3.1. Všeobecné informácie o krivočiarych súradnicových systémoch

Trieda krivočiarych súradníc je v porovnaní s triedou priamočiarych súradníc rozsiahla a oveľa rozmanitejšia az analytického hľadiska je najuniverzálnejšia, pretože rozširuje možnosti metódy priamočiarych súradníc. Použitie krivočiarych súradníc môže niekedy výrazne zjednodušiť riešenie mnohých problémov, najmä problémov riešených priamo na rotačnej ploche. Napríklad pri riešení úlohy na rotačnej ploche spojenej s nájdením určitej funkcie je možné v oblasti, kde je táto funkcia špecifikovaná na danej ploche, zvoliť systém krivočiarych súradníc, ktorý umožní túto funkciu obdarený novou vlastnosťou – byť konštantný v danom súradnicovom systéme, čo nie je možné vždy vykonať pomocou priamočiarych súradnicových systémov.

Systém krivočiarych súradníc, definovaných v určitej oblasti trojrozmerného euklidovského priestoru, spája každý bod tohto priestoru s usporiadanou trojicou reálnych čísel - φ, λ, r (krivočiare súradnice bodu).

Ak sa sústava krivočiarych súradníc nachádza priamo na nejakej ploche (otočnej ploche), tak v tomto prípade sú každému bodu na ploche priradené dve reálne čísla - φ, λ, ktoré jednoznačne určujú polohu bodu na tejto ploche. .

Medzi sústavou krivočiarych súradníc φ, λ, r a priamočiarym karteziánskym súradnicovým systémom (X, Y, Z) musí existovať matematická súvislosť. Skutočne, nech je systém krivočiarych súradníc špecifikovaný v určitej oblasti priestoru. Každý bod tohto priestoru zodpovedá jednej trojici krivočiarych súradníc – φ, λ, r. Na druhej strane tomu istému bodu zodpovedá jediná trojica priamočiarych karteziánskych súradníc – X, Y, Z. Potom možno tvrdiť, že v r. celkový pohľad

ϕ = ϕ (X, Y, Z);

λ = λ (,); (2,58)

X Y Z

r = r (X, Y, Z).

Medzi týmito SC existuje priame (2,58) aj inverzné matematické spojenie.

Z rozboru vzorcov (2.58) vyplýva, že pri konštantnej hodnote niektorej z priestorových krivočiarych súradníc φ, λ, r napr.

ϕ =ϕ(Х,У,Z)= konšt.,

A premenné hodnoty ďalších dvoch (λ, r ), získame vo všeobecnosti povrch, ktorý sa nazýva súradnicový povrch. Súradnicové plochy zodpovedajúce rovnakej súradnici sa navzájom nepretínajú. Dve súradnicové plochy zodpovedajúce rôznym súradniciam sa však pretínajú a vytvárajú súradnicovú čiaru zodpovedajúcu tretej súradnici.

2.3.2. Krivkové súradnice na povrchu

Pre geodéziu sú najzaujímavejšie povrchové krivočiare súradnice.

Nech je rovnica povrchu funkciou karteziánskych súradníc v

má implicitne podobu
F(X, Y, Z) = 0.

Smerovaním jednotkových vektorov i, j, l pozdĺž súradnicových osí (obr. 2.11) možno rovnicu povrchu zapísať vo vektorovom tvare.

r = Xi + Yj + Zl. (2,60)

Zaveďme dve nové nezávislé premenné φ a λ také, že funkcie

splniť rovnicu (2,59). Rovnice (2.61) sú parametrické rovnice povrchu.

λ1 = konšt

					λ2 = konšt
					λ3 = konšt
					φ3 = konšt
					φ2 = konšt
					φ1 = konšt

Ryža. 2.11. Súradnicový systém krivočiarej plochy

Každá dvojica čísel φ a λ zodpovedá určitému (jedinému) bodu na povrchu a tieto premenné možno brať ako súradnice bodov povrchu.

Ak dáme φ rôzne konštantné hodnoty φ = φ1, φ = φ2, …, dostaneme rodinu kriviek na povrchu zodpovedajúcich týmto konštantám. Podobne, zadaním konštantných hodnôt pre λ budeme mať

druhá rodina kriviek. Na povrchu tak vzniká sieť súradnicových čiar φ = const a λ = const. Súradnicové čiary vo všeobecnosti

sú zakrivené čiary. Preto sa volajú čísla φ, λ

krivočiare súradnice body na povrchu.

Krivočiare súradnice môžu byť buď lineárne alebo uhlové veličiny. Najjednoduchším príkladom systému krivočiarych súradníc, v ktorom jedna súradnica je lineárna veličina a druhá je uhlová veličina, môžu byť polárne súradnice v rovine.

Voľba krivočiarych súradníc nemusí nevyhnutne predchádzať tvorbe súradnicových čiar. V niektorých prípadoch je účelnejšie zriadiť sieť súradnicových čiar, ktorá je najvhodnejšia na riešenie určitých problémov na povrchu, a potom vybrať pre tieto čiary také parametre (súradnice), ktoré by mali pre každú súradnicovú čiaru konštantnú hodnotu.

Určitý systém parametrov zodpovedá úplne určitej sieti súradnicových čiar, ale pre každú danú rodinu súradnicových čiar je možné zvoliť mnoho ďalších parametrov, ktoré sú spojitými a jednoznačnými funkciami. tento parameter. Vo všeobecnom prípade môžu mať uhly medzi súradnicami rodiny φ = const a priamkami rodiny λ = const rôzne hodnoty.

Budeme uvažovať len ortogonálne systémy krivočiarych súradníc, v ktorých každá súradnicová priamka φ = const pretína akúkoľvek inú súradnicovú priamku λ = const v pravom uhle.

Pri riešení mnohých úloh na ploche, najmä úloh súvisiacich s výpočtom krivočiarych súradníc bodov povrchu, je potrebné mať k dispozícii diferenciálne rovnice na zmenu krivočiarych súradníc φ a λ v závislosti od zmeny dĺžky S krivky povrchu.

Spojenie medzi diferenciálmi dS, dφ, dλ možno vytvoriť zavedením novej premennej α, t.j. uhla

a dS

φ = konšt

λ = konšt

λ+d λ = konšt

kladný smer priamky λ = konšt. na kladný

smer tejto krivky (obr. 2.12). Tento uhol, ako to bolo, určuje smer (orientáciu) čiary

daný bod na povrchu. Potom (bez výstupu):

Ryža. 2.12. Geometria spojenia medzi diferenciálom oblúka krivky na ploche a zmenami (diferenciálmi) krivočiary

súradnice

					∂X		2 ∂ У 2
E = (rϕ)
						∂ϕ		∂ϕ
G = (						∂X		∂ У 2
						∂λ		∂λ

+ ∂Z2;

∂ϕ

+ ∂Z2. ∂λ

		cosα
		sinα

IN geodetický uhol α zodpovedá geodetickému azimutu: α = A.

2.3.3. Polárne súradnicové systémy a ich zovšeobecnenia

2.3.4. Priestorový polárny súradnicový systém

Ak chcete zadať priestorový polárny súradnicový systém, musíte najprv vybrať rovinu (ďalej ju budeme nazývať hlavnou). V tejto rovine je vybraný určitý bod O

merania

segmentov

priestor teda

pozíciu

bude akýkoľvek bod v priestore

určite

byť určené

veličiny: r, φ, λ, kde r –

polárny

priama vzdialenosť od pólu

O do bodu Q (obr. 2.13); λ –

polárny uhol - uhol medzi

polárny

Ryža. 2.13. Priestorový systém

ortogonálne

projekcia

polárneho polomeru k hlavnej

polárne súradnice a ich modifikácie

lietadlo

zmeny

(polárny polomer) a jeho

0 ≤ λ < 2π); φ – угол между

vektor

projekcia

OQ0 zapnuté

hlavné

rovina, považovaná za kladnú (0 ≤ φ ≤ π/2) pre body kladného polpriestoru a zápornú (-π/2 ≤ φ ≤ 0) pre body záporného polpriestoru.

Akýkoľvek priestorový polárny CS môže byť ľahko spojený (transformovaný) s priestorovým karteziánskym pravouhlým CS.

Ak zoberieme mierku a počiatok polárnej sústavy ako mierku a počiatok súradníc v priestorovej pravouhlej sústave, polárnu os OR za poloúsovú os OX, priamku OZ vedenú od pólu O kolmo na hlavnú rovinu v kladný smer polárnej sústavy ako poloos OZ pravouhlého karteziánskeho systému a poloos – OU berieme ako os, do ktorej smeruje os x, keď je otočená o uhol π/2 v kladnom póle. smer v hlavnej rovine polárnej sústavy, potom z obr. 2.13

Vzorce (2.64) nám umožňujú vyjadriť X, Y, Z pomocou r, φ, λ a naopak

Na akomkoľvek povrchu môžete vytvoriť súradnicový systém, určiť polohu bodu na ňom, opäť pomocou dvoch čísel. Aby sme to urobili, nejakým spôsobom pokryjeme celú plochu dvoma rodinami čiar tak, aby každým jej bodom (možno až na malý počet výnimiek) prechádzala jedna a iba jedna čiara z každej rodiny. Teraz stačí opatriť riadky každej rodiny číselnými značkami podľa nejakého pevného pravidla, ktoré vám umožní nájsť pravá čiara rodiny (obr. 22).

Súradnice bodu M plochy sú čísla u, v, Kde u-- číselné označenie línie prechádzajúcej prvej rodiny M, A v-- označenie línií druhej rodiny. Budeme pokračovať v písaní: M(u; v),čísla a v sa nazývajú krivočiare súradnice bodu M. To, čo bolo povedané, bude úplne jasné, ak sa pre príklad obrátime na sféru. To všetko môže byť pokryté meridiánmi (prvá rodina); každá z nich zodpovedá číselnej značke, konkrétne hodnote zemepisnej dĺžky u(alebo c). Všetky paralely tvoria druhú rodinu; každá z nich je spojená s číselnou značkou - zemepisnou šírkou v(alebo a). Cez každý bod na gule (okrem pólov) prechádza len jeden poludník a jedna rovnobežka.

Ako ďalší príklad uvažujme bočnú plochu pravého kruhového valca s výškou N, polomer a(obr. 23). Pre prvú rodinu berieme systém jej generátorov, jeden z nich berieme ako počiatočný. Každému generátoru priradíme značku ty rovná dĺžke oblúka na základnej kružnici medzi počiatočnou tvoriacou čiarou a danou (oblúk budeme počítať napr. proti smeru hodinových ručičiek). Pre druhú rodinu vezmeme systém vodorovných rezov povrchu; číselná značka v Budeme brať do úvahy výšku, v ktorej je rez nakreslený nad základňou. Pri správnom výbere osí x, y, z vo vesmíre budeme mať za akýkoľvek bod M(x;y; z) náš povrch:

(Tu argumenty pre kosínus a sínus nie sú v stupňoch, ale v radiánoch.) Tieto rovnice možno považovať za parametrické rovnice pre povrch valca.

Úloha 9. Po akej krivke by sa mal odrezať kus plechu, aby sa vytvorilo koleno odtokovej rúry, aby sa po správnom ohnutí získal valec s polomerom? A, skrátené o rovinu pod uhlom 45° k rovine podstavy?

Riešenie. Použime parametrické rovnice povrchu valca:

Cez os nakreslíme rovinu rezu oh, jej rovnica z=y. Ak to skombinujeme s rovnicami, ktoré sme práve napísali, dostaneme rovnicu

priesečníky v krivočiarych súradniciach. Po rozbalení povrchu na rovinu sú krivočiare súradnice A A v sa zmení na karteziánske súradnice.

Takže kus cínu by mal byť načrtnutý na vrchu pozdĺž sínusoidy

Tu u A v už karteziánske súradnice na rovine (obr. 24).

V prípade gule a valcového povrchu a vo všeobecnom prípade definovanie povrchu pomocou parametrických rovníc znamená vytvorenie krivočiareho súradnicového systému na povrchu. Skutočne, výraz pre karteziánske súradnice x, y, zľubovoľný bod M(x;y;z) povrchy prostredníctvom dvoch parametrov ty v(všeobecne sa to píše takto: X=ts ( u; v), y= ts (u;v), z=š (u;v), ts, w, sh - funkcie dvoch argumentov) umožňuje poznať dvojicu čísel ty v, nájsť zodpovedajúce súradnice x, y, z,čo znamená polohu bodu M na povrchu; čísla ty v slúžia ako jeho súradnice. Tým, že jednému z nich priradíme konštantnú hodnotu napr u=u 0, dostaneme výraz x, y, z cez jeden parameter v, t.j. parametrická rovnica krivky. Toto je súradnicová čiara jednej rodiny, jej rovnica u=u 0 Presne ten istý riadok v=v 0 -- súradnicová línia inej rodiny.

vektor súradnicového kartézskeho polomeru

V lietadle.

Lokálne vlastnosti krivočiarych súradníc

Pri zvažovaní krivočiarych súradníc v tejto časti budeme predpokladať, že uvažujeme trojrozmerný priestor (n = 3), vybavený karteziánskymi súradnicami x, y, z. Prípad ostatných rozmerov sa líši len počtom súradníc.

V prípade euklidovského priestoru bude mať metrický tenzor, nazývaný aj druhá mocnina oblúkového diferenciálu, v týchto súradniciach tvar zodpovedajúci matici identity:

$dS^2\; =\; \backslash mathbf(dx)^2\; +\; \backslash mathbf(dy)^2\; +\; \backslash mathbf(dz)^2.$

Všeobecný prípad

Nechaj $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$- určité krivočiare súradnice, ktoré budeme považovať za dané hladké funkcie x, y, z. Aby mal tri funkcie $q\_1$, $q\_2$, $q\_3$ slúžili ako súradnice v určitej oblasti priestoru, je potrebná existencia inverzného mapovania:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; \backslash varphi\_1\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right);\backslash \backslash \; y=\; \backslash varphi\_2\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)\; ;\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash varphi\_3\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right),\backslash end(matica)\backslash right.$

Kde $\backslash varphi\_1,\backslash ;\; \backslash varphi\_2,\backslash ;\; \backslash varphi\_3$- funkcie definované v nejakej doméne množín $\backslash left(q\_1,\backslash ;q\_2,\backslash ;q\_3\backslash right)$ súradnice

Lokálna báza a tenzorová analýza

V tenzorovom počte môžeme zaviesť lokálne bázové vektory: $\backslash mathbf(R\_j)=\backslash frac(d\backslash mathbf\; r)(dy^j)=\; \backslash frac(dx^i)(dy^j)\; \backslash mathbf\; e\_i=Q^i\_j\; \backslash mathbf\; e\_i$, Kde $\backslash mathbf\; e\_i$- jednotkové vektory karteziánskeho súradnicového systému, $Q^i\_j$- Jacobiho matrica, $x^i$ súradnice v karteziánskom systéme, $y^i$- zadané krivočiare súradnice.
Nie je ťažké vidieť, že krivočiare súradnice sa vo všeobecnosti menia z bodu do bodu.
Označme vzorce pre spojenie medzi krivočiarymi a karteziánskymi súradnicami:
$\backslash mathbf\; R\_i=Q^j\_i\; \backslash mathbf\; e\_j$
$\backslash mathbf\; e\_i=P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$ Kde $P^j\_i\; Q^i\_j=E$, kde E je matica identity.
Súčin dvoch lokálnych bázových vektorov tvorí metrickú maticu:
$\backslash mathbf\; R\_i\; \backslash mathbf\; R\_j\; =\; Q^n\_i\; Q^m\_j\; d\_(nm)\; =\; g\_(ij)$
$\backslash mathbf\; R^i\; \backslash mathbf\; R^j\; =\; P^i\_n\; P^j\_m\; d^(nm)=g^(ij)$
$g\_(ij)\; g^(jk)=g^(jk)\; g\_(ij)\; =d\_i^k$, Kde $d\_(ij),\; d^(ij),\; d^i\_j$ kontravariantný, kovariantný a zmiešaný Kroneckerov symbol
Teda akékoľvek tenzorové pole $\backslash mathbf\; T$ poradie n možno rozšíriť na lokálny polyadický základ:
$\backslash mathbf\; T=\; T^(i\_1\; ...\; i\_n)\; \backslash mathbf\; e\_i\; \backslash otimes\; ...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; e\_n\; =T^(i\_1\; ...i\_n)\; P^(j\_1)\_(i\_1)\; ...\; P^\; (j\_n)\_(i\_n)\; \backslash mathbf\; R\_(j\_1)\; \backslash otimes...\; \backslash otimes\; \backslash mathbf\; R\_(j\_n)$
Napríklad v prípade prvého rádového tenzorového poľa (vektora):
$\backslash mathbf\; v=v^i\; \backslash mathbf\; e\_i=v^i\; P^j\_i\; \backslash mathbf\; R\_j$

Ortogonálne krivočiare súradnice

V euklidovskom priestore je použitie ortogonálnych krivočiarych súradníc mimoriadne dôležité, pretože vzorce týkajúce sa dĺžky a uhlov vyzerajú v ortogonálnych súradniciach jednoduchšie ako vo všeobecnom prípade. Je to spôsobené tým, že metrická matica v systémoch s ortonormálnym základom bude diagonálna, čo výrazne zjednoduší výpočty.
Príkladom takýchto systémov je sférický systém v $\backslash mathbb(R)^2$

Lamého koeficienty

Napíšme diferenciál oblúka v krivočiarych súradniciach vo forme (použijeme Einsteinovo sčítacie pravidlo):

$dS^2\; =\; \backslash left(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_1)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash right)^2\; +$

\left(\frac(\čiastočné \varphi_2)(\čiastočné q_i)\mathbf(dq)_i \vpravo)^2 + \left(\frac(\čiastočné \varphi_3)(\čiastočné q_i)\mathbf(dq)_i \right)^2, ~ i=1,2,3

Berúc do úvahy ortogonalitu súradnicových systémov ( $\backslash mathbf(dq)\_i\; \backslash cdot\; \backslash mathbf(dq)\_j\; =\; 0$ pri $ja\; \backslash ne\; j$) tento výraz možno prepísať ako

$dS^2\; =\; H\_1^2dq\_1^2\; +\; H\_2^2dq\_2^2\; +\; H\_3^2dq\_3^2,$

$H\_i\; =\; \backslash sqrt(\backslash vľavo(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_1)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash vpravo)^2\; +\; \backslash ľavé(\backslash frac(\backslash čiastočné\; \backslash varphi\_2)(\backslash čiastočné\; q\_i)\backslash vpravo)^2\; +\; \backslash \; left(\backslash frac(\backslash partial\; \backslash varphi\_3)(\backslash partial\; q\_i)\backslash right)^2);\backslash \; i=1,\backslash ;2,\backslash ;3$

Pozitívne množstvá $H\_i\backslash$, v závislosti od bodu v priestore, sa nazývajú Lamého koeficienty alebo mierkové faktory. Lamého koeficienty ukazujú, koľko jednotiek dĺžky je obsiahnutých v jednotke súradníc pre daný bod a používajú sa na transformáciu vektorov pri prechode z jedného súradnicového systému do druhého.

Riemannov metrický tenzor zapísaný v súradniciach $(q\_i)$, je diagonálna matica, na ktorej uhlopriečke sú druhé mocniny Lamého koeficientov:

Príklady

polárne súradnice ( n=2)

Polárne súradnice v rovine zahŕňajú vzdialenosť r od pólu (počiatok) a smer (uhol) φ.

Vzťah medzi polárnymi súradnicami a karteziánskymi súradnicami:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\backslash koniec\; (matica)\backslash vpravo.$

Lamého koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r.\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2.$

Na začiatku nie je funkcia φ definovaná. Ak sa súradnica φ nepovažuje za číslo, ale za uhol (bod na jednotkovej kružnici), potom polárne súradnice tvoria súradnicový systém v oblasti získanej z celej roviny odstránením počiatočného bodu. Ak budeme φ stále považovať za číslo, tak v určenej oblasti bude viachodnotové a konštrukcia prísne matematického súradnicového systému je možná len v jednoducho spojenej oblasti, ktorá nezahŕňa počiatok súradníc, napr. , v lietadle bez lúča.

Cylindrické súradnice ( n=3)

Cylindrické súradnice sú triviálnym zovšeobecnením polárnych na prípad trojrozmerného priestoru pridaním tretej súradnice z. Vzťah medzi cylindrickými súradnicami a karteziánskymi súradnicami:

$\backslash left\backslash (\backslash začiatok(matica)\; x\; =\; r\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash varphi).\; \backslash \backslash \; z\; =\; z.\; \backslash end(matica)\backslash vpravo.$

Lamého koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash \; H\_\backslash varphi\; =\; r;\; \backslash \backslash \; H\_z\; =\; 1.\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash varphi^2\; +\; dz^2.$

Sférické súradnice ( n=3)

Sférické súradnice súvisia so súradnicami zemepisnej šírky a dĺžky na jednotkovej gule. Vzťah medzi sférickými súradnicami a karteziánskymi súradnicami:

$\backslash left\backslash (\backslash begin(matica)\; x\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash cos(\backslash varphi);\backslash \backslash \; y\; =\; r\backslash sin(\backslash theta)\backslash sin(\backslash varphi);\; \backslash \backslash \; z\; =\; r\backslash cos\; (\backslash theta).\backslash koniec\; (matica)\backslash vpravo.$

Lamého koeficienty:

$\backslash begin(matica)H\_r\; =\; 1;\; \backslash \backslash H\_\backslash theta\; =\; r;\; \backslash \backslash H\_\backslash varphi\; =\; r\backslash sin(\backslash theta).\; \backslash end(matica)$

Diferenciál oblúka:

$dS^2\backslash \; =\backslash \; dr^2\backslash \; +\backslash \; r^2d\backslash theta^2\; +\; r^2\backslash sin^2(\backslash theta)d\backslash varphi^2.$

Sférické súradnice, podobne ako cylindrické, nefungujú na osi z ( x =0, y =0), keďže tam nie je definovaná súradnica φ.

Rôzne exotické súradnice v lietadle ( n=2) a ich zovšeobecnenia

Napíšte recenziu na článok "Krivočiary súradnicový systém"

Literatúra

• Korn G., Korn T. Príručka matematiky (pre vedcov a inžinierov). - M.: Nauka, 1974. - 832 s.

Názov súradníc Typy súradnicových systémov 2D súradnice 3D súradnice $n$-rozmerné súradnice Fyzické súradnice Súvisiace definície

Úryvok charakterizujúci krivočiary súradnicový systém

"Ak by na nás mohol zaútočiť, urobil by to dnes," povedal.
"Preto si myslíte, že je bezmocný," povedal Langeron.
„Veľa, ak má 40 tisíc vojakov,“ odpovedal Weyrother s úsmevom lekára, ktorému chce lekár naznačiť nápravu.
"V tomto prípade ide na smrť a čaká na náš útok," povedal Langeron s tenkým ironickým úsmevom a pozrel sa späť na najbližšieho Miloradoviča, aby to potvrdil.
Ale Miloradovič, očividne, v tej chvíli najmenej myslel na to, o čom sa generáli hádali.
"Ma foi, [Bože," povedal, "zajtra všetko uvidíme na bojisku."
Weyrother sa znova uškrnul s tým úsmevom, ktorý hovoril, že je pre neho smiešne a zvláštne stretnúť sa s námietkami ruských generálov a dokázať to, čím si bol istý nielen on sám, ale čím si boli istí cisári.
"Nepriateľ hasil požiare a v jeho tábore je počuť neustály hluk," povedal. - Čo to znamená? „Buď sa odsťahuje, čo je jediná vec, ktorej by sme sa mali báť, alebo zmení polohu (usmial sa). Ale aj keby zaujal pozíciu v Tyuras, len nás ušetrí od mnohých problémov a všetky príkazy do najmenších detailov zostávajú rovnaké.
"Ako teda?" povedal princ Andrei, ktorý dlho čakal na príležitosť vyjadriť svoje pochybnosti.
Kutuzov sa prebudil, ťažko si odkašlal a poobzeral sa po generáloch.
"Páni, dispozícia na zajtrajšok, dokonca ani dnes (pretože je už prvá hodina), sa nedá zmeniť," povedal. "Počul si ju a my všetci splníme svoju povinnosť." A pred bitkou nie je nič dôležitejšie... (odmlčal sa), ako sa dobre vyspať.
Predstieral, že sa postavil. Generáli sa rozlúčili a odišli. Bolo už po polnoci. Princ Andrej odišiel.

Vojenská rada, na ktorej princ Andrei nemohol vyjadriť svoj názor, ako dúfal, v ňom zanechala nejasný a alarmujúci dojem. Nevedel, kto mal pravdu: Dolgorukov a Weyrother alebo Kutuzov a Langeron a ďalší, ktorí neschvaľovali plán útoku. „Bolo však skutočne nemožné, aby Kutuzov priamo vyjadril svoje myšlienky panovníkovi? Naozaj sa to nedá urobiť inak? Naozaj je potrebné riskovať desaťtisíce a môj, môj život kvôli súdnym a osobným úvahám?“ pomyslel si.
"Áno, je veľmi pravdepodobné, že ťa zajtra zabijú," pomyslel si. A zrazu pri tejto myšlienke na smrť sa v jeho predstavách vynoril celý rad spomienok, tých najvzdialenejších a najintímnejších; spomenul si na poslednú rozlúčku s otcom a manželkou; spomenul si na prvé časy svojej lásky k nej! Spomenul si na jej tehotenstvo, ľutoval ju aj seba a v nervóznom zmäkčenom a vzrušenom stave vyšiel z chatrče, v ktorej stál s Nesvitským, a začal sa prechádzať pred dom.
Noc bola hmla a mesačný svit záhadne prerazil hmlu. „Áno, zajtra, zajtra! - pomyslel si. "Zajtra sa možno pre mňa všetko skončí, všetky tieto spomienky už nebudú existovať, všetky tieto spomienky už pre mňa nebudú mať žiadny význam." Zajtra, možno, možno aj zajtra, to predvídam, po prvýkrát budem musieť konečne ukázať všetko, čo dokážem.“ A predstavoval si bitku, jej prehru, sústredenie boja na jeden bod a zmätok všetkých veliteľov. A teraz sa mu konečne zjaví ten šťastný moment, ten Toulon, na ktorý tak dlho čakal. Pevne a jasne hovorí svoj názor Kutuzovovi, Weyrotherovi a cisárom. Každý sa čuduje správnosti jeho nápadu, ale nikto sa ho nezaväzuje uskutočniť, a tak vezme pluk, divíziu, vysloví podmienku, že nikto nebude zasahovať do jeho rozkazov a vedie svoju divíziu k rozhodujúcemu bodu a sám vyhráva. A čo smrť a utrpenie? hovorí iný hlas. Ale princ Andrei na tento hlas neodpovedá a pokračuje vo svojich úspechoch. Usporiadanie ďalšej bitky robí on sám. Má hodnosť armádneho dôstojníka pod Kutuzovom, ale všetko robí sám. Ďalšiu bitku vyhral on sám. Kutuzov je nahradený, je menovaný... No a potom? opäť prehovorí iný hlas a potom, ak nie ste predtým desaťkrát zranení, zabití alebo oklamaní; No a čo potom? "No, a potom," odpovedá si princ Andrei, "neviem, čo bude ďalej, nechcem a nemôžem vedieť: ale ak chcem toto, chcem slávu, chcem byť slávnych ľudí, Chcem byť nimi milovaný, potom to nie je moja chyba, že toto chcem, že toto chcem sám, len preto žijem. Áno, len pre toto! Nikdy to nikomu nepoviem, ale bože! Čo mám robiť, ak nemilujem nič iné ako slávu, ľudskú lásku? Smrť, rany, strata rodiny, nič ma nedesí. A bez ohľadu na to, akí drahí alebo drahí sú mi mnohí ľudia - môj otec, sestra, manželka - tí najdrahší ľudia - ale bez ohľadu na to, aké strašidelné a neprirodzené to vyzerá, teraz ich všetkých dám na chvíľu slávy, zvíťaziť nad ľuďmi, pre lásku k sebe ľuďom, ktorých nepoznám a nepoznám, pre lásku k týmto ľuďom,“ pomyslel si a počúval rozhovor na Kutuzovovom dvore. Na Kutuzovovom dvore bolo počuť hlasy sanitárov; Jeden hlas, pravdepodobne kočiš, dráždil starého kuchára Kutuzova, ktorého poznal knieža Andrej a volal sa Titus, povedal: "Titus, a čo Titus?"
"No," odpovedal starý muž.
"Titus, choď mlátiť," povedal vtipkár.
"Fuj, do čerta," ozval sa hlas pokrytý smiechom sanitárov a sluhov.
"A napriek tomu milujem a cením si iba víťazstvo nad nimi všetkými, cením si túto tajomnú silu a slávu, ktorá sa nado mnou vznáša v tejto hmle!"

Tej noci bol Rostov s čatou v reťazi obrancov pred Bagrationovým oddelením. Jeho husári boli rozptýlení v reťaziach po pároch; on sám jazdil na koni po tejto reťazi a snažil sa prekonať spánok, ktorý ho neodolateľne tlačil. Za sebou videl obrovskú rozlohu ohňov našej armády, slabo horiacich v hmle; pred ním bola hmlistá tma. Bez ohľadu na to, ako veľmi sa Rostov díval do tejto hmlistej diaľky, nevidel nič: niekedy zošedla, inokedy sa niečo zdalo čierne; potom sa zdalo, že svetlá blikajú tam, kde by mal byť nepriateľ; potom si myslel, že mu svietilo len v očiach. Oči sa mu zatvorili a vo svojej predstave si predstavil najprv panovníka, potom Denisova, potom moskovské spomienky a znova rýchlo otvoril oči a zatvoril pred sebou uvidel hlavu a uši koňa, na ktorom sedel, niekedy čierne postavy husárov, keď bol na šesť krokov, vrazil som do nich a v diaľke bola stále tá istá hmlistá tma. „Prečo? Je veľmi možné,“ pomyslel si Rostov, „že panovník, ktorý sa so mnou stretol, dá rozkaz ako každý dôstojník: povie: „Choď, zisti, čo tam je. Mnoho ľudí rozprávalo, ako celkom náhodou spoznal nejakého dôstojníka a priviedol ho bližšie k sebe. Čo keby ma k nemu priviedol bližšie! Ach, ako by som ho chránil, ako by som mu povedal celú pravdu, ako by som odhalil jeho podvodníkov,“ a Rostov, aby si živo predstavil svoju lásku a oddanosť k panovníkovi, si predstavil nepriateľa alebo podvodníka Nemca, ktorý užil si nielen zabil, ale udrel ho po lícach v očiach panovníka. Zrazu Rostov prebudil vzdialený výkrik. Strhol sa a otvoril oči.
„Kde som? Áno, v reťazci: slogan a heslo – oj, Olmütz. Aká hanba, že naša letka bude zajtra v zálohách... - pomyslel si. - Poprosím vás, aby ste sa zapojili. Toto môže byť jediná príležitosť vidieť suveréna. Áno, do zmeny to nebude dlho trvať. Znova pôjdem okolo a keď sa vrátim, pôjdem za generálom a spýtam sa ho.“ Upravil sa v sedle a pohol koňa, aby opäť obchádzal svojich husárov. Zdalo sa mu, že je svetlejšie. Na ľavej strane bolo vidieť mierny osvetlený svah a protiľahlý čierny kopec, ktorý sa zdal strmý, ako stena. Na tomto kopci bola biela škvrna, ktorej Rostov nerozumel: bola to čistinka v lese, osvetlená mesiacom, alebo zvyšný sneh, alebo biele domy? Dokonca sa mu zdalo, že sa po tomto bielom mieste niečo hýbe. „Sneh musí byť škvrna; bod – une tache,“ pomyslel si Rostov. „Tu máš...“

Zodpovedá takémuto vektorovému priestoru. V tomto článku sa za východiskový bod berie prvá definícia.

N (\displaystyle n)-rozmerný euklidovský priestor označujeme E n , (\displaystyle \mathbb (E) ^(n),)často sa používa aj zápis (ak je z kontextu zrejmé, že priestor má euklidovskú štruktúru).

Encyklopedický YouTube

1 / 5

✪ 04 - Lineárna algebra. Euklidovský priestor

✪ Neeuklidovská geometria. Časť prvá.

✪ Neeuklidovská geometria. Časť druhá

✪ 01 - Lineárna algebra. Lineárny (vektorový) priestor

✪ 8. Euklidovské priestory

titulky

Formálna definícia

Na definovanie euklidovského priestoru je najjednoduchšie vziať ako hlavný koncept skalárny súčin. Euklidovský vektorový priestor je definovaný ako konečnorozmerný vektorový priestor nad poľom reálnych čísel, na ktorých vektoroch je špecifikovaná funkcia skutočnej hodnoty. (⋅ , ⋅) , (\displaystyle (\cdot ,\cdot),) ktorý má tieto tri vlastnosti:

Príklad euklidovského priestoru - súradnicový priestor R n , (\displaystyle \mathbb (R) ^(n),) pozostávajúce zo všetkých možných n-tic reálnych čísel (x 1 , x 2 , … , x n) , (\displaystyle (x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)),) skalárny súčin, v ktorom je určený vzorcom (x, y) = ∑ i = 1 n x i y i = x 1 y 1 + x 2 y 2 + ⋯ + x n y n .

(\displaystyle (x,y)=\sum _(i=1)^(n)x_(i)y_(i)=x_(1)y_(1)+x_(2)y_(2)+\cdots +x_(n)y_(n).)

Dĺžky a uhly Skalárny súčin definovaný v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora u (\displaystyle u) definovaný ako(u , u) (\displaystyle (\sqrt ((u,u)))) a je určený| u |.

(\displaystyle |u|.) Skalárny súčin definovaný v euklidovskom priestore je dostatočný na zavedenie geometrických pojmov dĺžky a uhla. Dĺžka vektora A Pozitívna jednoznačnosť skalárneho súčinu zaručuje, že dĺžka nenulového vektora je nenulová a z bilinearity vyplýva, že| a u |= | a |) | u | , (\displaystyle |au|=|a||u|,)

to znamená, že dĺžky proporcionálnych vektorov sú úmerné.

Uhol medzi vektormi arccos ⁡ ((x , y) | x | | y |) (\displaystyle \arccos \left((\frac ((x,y))(|x||y|))\vpravo)) bola definovaná, je potrebné, aby nerovnosť |(x, y) | x || y || ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) A Táto nerovnosť v skutočnosti platí v ľubovoľnom euklidovskom priestore, nazýva sa to Cauchyho-Bunyakovského-Schwartzova nerovnosť. Z tejto nerovnosti zase vyplýva trojuholníková nerovnosť:| u + v |⩽ | u |

+ |

v |

.

(\displaystyle |u+v|\leqslant |u|+|v|.) ⩽ 1. (\displaystyle \left|(\frac ((x,y))(|x||y|))\right|\leqslant 1.) Trojuholníková nerovnosť spolu s vlastnosťami dĺžky uvedenými vyššie znamená, že dĺžka vektora je normou pre euklidovský vektorový priestor a funkcia d(x, y) = | x − y | (\displaystyle d(x,y)=|x-y|) definuje štruktúru metrického priestoru na euklidovskom priestore (táto funkcia sa nazýva euklidovská metrika). Najmä vzdialenosť medzi prvkami (bodmi)

x (\displaystyle x)

y (\displaystyle y) M súradnicový priestor R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) je daný vzorcom R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) d (x , y) = ‖ x − y ‖ = ∑ i = 1 n (x i − y i) 2 . M(\displaystyle d(\mathbf (x) ,\mathbf (y))=\|\mathbf (x) -\mathbf (y) \|=(\sqrt (\sum _(i=1)^(n) (x_(i)-y_(i))^(2))).)

V závislosti od pravidla, podľa ktorého trojica čísel ( R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3) je v súlade s bodom v priestore, hovoria o jednom alebo druhom súradnicovom systéme.

Ak chcú poznamenať, že v danom súradnicovom systéme je poloha bodu M určená číslami R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3, potom sa píše nasledovne M(R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3).

Príklad 1. Nech je v priestore vyznačený nejaký pevný bod O(počiatok súradníc) a cez ňu sú prekreslené tri navzájom kolmé osi s na nich zvolenou mierkou. (Osy Oh, Oh, Oz). Tri čísla x, r, z prirovnajme pointu M, takže projekcie jej vektora polomeru OM na osi Oh, Oh, Oz budú rovnaké resp x, r, z. Táto metóda vytvárania vzťahu medzi trojicami čísel ( x, r, z) a bodky M nás vedie k známemu karteziánskemu súradnicovému systému.

Je ľahké vidieť, že v prípade karteziánskeho súradnicového systému nielenže každá trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore, ale aj naopak, každý bod v priestore zodpovedá určitej trojici súradníc.

Príklad 2. Súradnicové osi necháme nakresliť opäť v priestore Oh, Oh, Oz prechod cez pevný bod O(pôvod).

Zvážte trojicu čísel r, j, z, Kde r³0; 0 £ j 2 £ p, –¥<z<¥, и поставим в соответствие этой тройке чисел точку M, tak, aby sa jeho aplikácia rovnala z a jeho premietanie do roviny Oxy má polárne súradnice r A j(pozri obr. 4.1). Je jasné, že tu každé tri čísla r, j, z zodpovedá určitému bodu M a späť do každého bodu M zodpovedá určitej trojici čísel r, j, z. Výnimkou sú body ležiace na osi Oz: v tomto prípade r A z sú jednoznačne definované a uhol j je možné priradiť akýkoľvek význam. čísla r, j, z sa nazývajú valcové súradnice bodu M.

Je ľahké vytvoriť vzťah medzi cylindrickými a karteziánskymi súradnicami:

x = r×cos j; r = r× hriech j; z = z.

A späť; ; z = z.

Príklad 3. Zavedieme sférický súradnicový systém. Nastavíme tri čísla r, R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), j, charakterizujúce polohu bodu M vo vesmíre takto: r– vzdialenosť od začiatku k bodu M(dĺžka vektora polomeru), R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Oz a polomerový vektor OM(zemepisná šírka bodu M) j– uhol medzi kladným smerom osi Oh a priemet vektora polomeru do roviny Oxy(zemepisná dĺžka bodu M). (Pozri obrázok 4.2).

Je jasné, že v tomto prípade nielen každý bod M zodpovedá určitej trojici čísel r, R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), j, Kde r³0,0 £ R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) £ p, 0£ j 2 £ p, ale aj naopak, každá takáto trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore (opäť s výnimkou bodov os. Oz, kde je táto jedinečnosť narušená).

Je ľahké nájsť spojenie medzi sférickými a karteziánskymi súradnicami:

x = r hriech R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) cos j; r = r hriech R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) hriech j; z = r cos R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)).

Vráťme sa k ľubovoľnému súradnicovému systému ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3). Budeme predpokladať, že nielen každému bodu v priestore zodpovedá určitá trojica čísel ( R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 , R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3), ale aj naopak, každá trojica čísel zodpovedá určitému bodu v priestore. Predstavme si pojem súradnicové plochy a súradnicové čiary.

Definícia. Množina bodov, pre ktoré je súradnica R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 je konštantná, nazývaná súradnicová plocha R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1. Súradnicové plochy sú definované podobne R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 a R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3 (pozri obr. 4.3).

Samozrejme, ak má bod M súradnice S 1 , S 2 , S 3, potom sa v tomto bode súradnicové plochy pretínajú R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 =C 1 ; R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 =C 2 ; R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3 =C 3 .

Definícia. Množina bodov, pozdĺž ktorých sa menia iba súradnice R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 (a zvyšné dve súradnice R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 a R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3 zostávajú konštantné) sa nazýva súradnicová čiara R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 .

Je zrejmé, že každá súradnicová čiara R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 1 je priesečník rovín súradníc R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 a R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3 .

Súradnicové čiary sú určené podobne R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 2 a R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) 3 .

Príklad 1. Súradnicové plochy (pozdĺž súradnice x) v karteziánskom súradnicovom systéme sú všetky roviny x= konšt. (Sú rovnobežné s rovinou Оyz). Súradnicové plochy sú určené súradnicami podobne r A z.

Koordinovať x-čiara je priamka rovnobežná s osou Oh. Koordinovať r-riadok ( z-čiara) – rovná, rovnobežná s osou Oh(osi Oz).

Príklad 2. Súradnicové plochy vo valcovej sústave sú: akákoľvek rovina rovnobežná s rovinou Oxy(súradnicový povrch z= const), povrch kruhového valca, ktorého os smeruje pozdĺž osi Oz(súradnicový povrch r= const) a polrovina ohraničená osou Oz(súradnicový povrch j= const) (pozri obr. 4.4).

Názov cylindrický súradnicový systém sa vysvetľuje skutočnosťou, že medzi jeho súradnicovými plochami sú valcové plochy.

Súradnicové čiary v tomto systéme sú z-čiara – rovná, rovnobežná s osou Oz; j-priamka – kružnica ležiaca vo vodorovnej rovine so stredom na osi Oz; A r-line – lúč vychádzajúci z ľubovoľného bodu na osi Oz, rovnobežne s rovinou Oxy.

Ryža. 4.5

Keďže medzi súradnicovými plochami sú gule, tento súradnicový systém sa nazýva sférický.

Súradnicové čiary sú tu: r-čiara – lúč vychádzajúci z východiska, R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n))-priamka – polkruh so stredom v počiatku, spájajúci dva body na osi Oz; j-čiara – kružnica ležiaca v horizontálnej rovine so stredom na osi Oz.

Vo všetkých vyššie diskutovaných príkladoch súradnicové čiary prechádzajúce cez ľubovoľný bod M, sú navzájom ortogonálne. Toto sa nestane v každom súradnicovom systéme. Obmedzíme sa však na štúdium iba tých súradnicových systémov, pre ktoré sa to deje; takéto súradnicové systémy sa nazývajú ortogonálne.

Definícia. Súradnicový systém ( Oq 1 , Oq 2 , Oq 3) sa nazýva ortogonálny, ak v každom bode M súradnicové čiary prechádzajúce týmto bodom sa pretínajú v pravom uhle.

Uvažujme teraz o nejakom bode M a nakreslite jednotkové vektory dotýkajúce sa zodpovedajúcich súradnicových čiar v tomto bode a smerujúce k zvýšeniu zodpovedajúcej súradnice. Ak tieto vektory tvoria pravotočivú trojicu v každom bode, potom dostaneme pravotočivý súradnicový systém. Takže napríklad karteziánsky súradnicový systém x, r, z(pri bežnom usporiadaní osí) má pravdu. Sú to tiež pravotočivé valcové súradnicové systémy r, j, z(ale presne s týmto poradím súradníc; ak zmeníte poradie súradníc, pričom napr. r, z, j, už nedostaneme správny systém).

Sférický súradnicový systém je tiež pravotočivý (ak nastavíte toto poradie r, R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)), j).

Všimnite si, že v kartézskom súradnicovom systéme smer jednotkového vektora nezávisí od bodu, v ktorom M vykonáme tento vektor; to isté platí pre vektory. V krivočiarych súradnicových systémoch pozorujeme niečo iné: napríklad vo valcovom súradnicovom systéme vektory v bode M a v nejakom inom bode M 1 už nemusia byť navzájom rovnobežné. To isté platí pre vektor (v rôznych bodoch má, všeobecne povedané, rôzne smery).

Trojica jednotkových ortogonálnych vektorov v krivočiarom súradnicovom systéme teda závisí od polohy bodu M, v ktorom sú tieto vektory uvažované. Trojica jednotkových ortogonálnych vektorov sa nazýva pohyblivý rámec a samotné vektory sa nazývajú jednotkové vektory (alebo jednoducho vektory).