두하멜 적분.

단일 교란 동작에 대한 회로의 응답을 아는 것, 즉 과도 전도도 함수 또는 (및) 전압 과도 함수, 동작에 대한 회로의 응답을 찾을 수 있습니다. 자유 형식. 방법의 기초 - Duhamel 적분을 사용한 계산 방법 -은 중첩의 원리입니다.

적분을 수행하는 변수와 회로의 전류가 결정되는 시간을 결정하는 변수를 분리하기 위해 Duhamel 적분을 사용할 때 첫 번째는 일반적으로 로 표시되고 두 번째는 t로 표시됩니다.

초기 조건이 0인 회로(수동 2단자 네트워크 PD그림에서. 1) 임의의 전압을 가진 소스가 연결됩니다. 회로의 전류를 찾기 위해 원래 곡선을 단계 곡선으로 바꿉니다(그림 2 참조). 그 후 회로가 선형임을 고려하여 초기 전압 점프와 모든 전압 단계에서 전류를 합산합니다. 시간 지연과 함께 작동하는 순간 t까지.

시간 t에서 초기 전압 점프에 의해 결정된 총 전류의 성분은 와 같습니다.

현재 전압 점프가 있습니다. , 점프 시작부터 관심 시점 t까지의 시간 간격을 고려하여 현재 구성 요소를 결정합니다.

시간 t에서의 총 전류는 다음을 고려하여 개별 전압 서지의 모든 전류 성분의 합과 분명히 동일합니다.

유한 시간 증분 간격을 무한히 작은 간격으로 대체합니다. 합에서 적분으로 전달하면 다음과 같이 씁니다.

.

(1)

관계식 (1)이 호출됩니다. Duhamel 적분.

전압은 Duhamel 적분을 사용하여 결정할 수도 있습니다. 이 경우 (1)에서 과도 전도도 대신에 전압에 대한 과도 함수가 들어갑니다.

다음을 사용한 계산 순서
두하멜 적분

Duhamel 적분을 사용하는 예로서 그림 4의 회로에 흐르는 전류를 구해보자. 3 포함 공식을 사용하여 이전 강의에서 계산했습니다.

계산을 위한 초기 데이터: , , .

1. 과도 컨덕턴스

.

18. 전달 기능.

동작 연산자와 자체 연산자의 관계를 전달 함수 또는 연산자 형식의 전달 함수라고 합니다.

기호 또는 연산자 형식의 방정식 또는 방정식으로 설명되는 링크는 두 가지 전달 함수로 특성화될 수 있습니다. 입력 값 u에 대한 전달 함수; 및 입력 값 f에 대한 전달 함수.

그리고

전달 함수를 사용하여 방정식은 다음과 같이 작성됩니다. . 이 방정식은 원래 방정식의 조건부, 보다 간결한 형태입니다.

연산자 형태의 전달 함수와 함께 라플라스 이미지 형태의 전달 함수가 널리 사용됩니다.

라플라스 이미지 형식의 전달 함수와 연산자 형식은 표기법까지 일치합니다. 연산자 형식의 전달 함수에서 라플라스 이미지를 얻을 수 있습니다. 일반적인 경우, 이것은 초기 조건이 0일 때 원본의 미분(원본의 p에 대한 기호 곱셈)이 복소수 s에 의한 이미지의 곱셈에 해당한다는 사실에서 따릅니다.

라플라스 이미지 형태와 연산자 형태의 전달 함수 사이의 유사성은 순전히 외부적이며 고정 링크(시스템)의 경우에만 발생합니다. 초기 조건이 0일 때만.

간단한 RLC(직렬) 회로, 전달 함수 W(p)=U OUT /U IN

푸리에 적분.

기능 에프(엑스), 정수 축에 정의된 정기 간행물, 어떤 값에 대해 다음과 같은 숫자가 있는 경우 엑스평등 . 숫자 티~라고 불리는 기능 기간.

이 함수의 몇 가지 속성을 살펴보겠습니다.

1) 주기 함수의 합, 차, 곱 및 몫 티는 기간의 주기적 함수입니다. 티.

2) 기능의 경우 에프(엑스) 기간 티, 다음 기능 에프(도끼) 마침표가 있습니다.

3) 만약 에프(엑스)는 기간의 주기적 함수입니다. 티, 이 함수의 두 적분은 길이 간격에 걸쳐 동일합니다. 티(게다가, 적분은 존재합니다), 즉, ㅏ그리고 비공정한 평등 .

삼각법 시리즈. 푸리에 시리즈

만약 에프(엑스) 세그먼트를 균일하게 수렴하는 삼각 시리즈로 확장합니다. (1)

그러면 이 분해는 고유하고 계수는 다음 공식에 의해 결정됩니다.

어디 N=1,2, . . .

계수가 있는 고려된 형식의 삼각 시리즈(1)를 호출합니다. 삼각 푸리에 급수.

푸리에 급수의 복소수 형태

식은 함수의 푸리에 급수의 복소수 형태라고 합니다. 에프(엑스) 평등으로 정의된 경우

, 어디

복잡한 형태의 푸리에 급수에서 실제 형태의 급수로 또는 그 반대로의 전환은 다음 공식을 사용하여 수행됩니다.

(N=1,2, . . .)

함수 f(x)의 푸리에 적분은 다음 형식의 적분입니다.

, 어디 .

주파수 기능.

전달 함수가 있는 시스템의 입력에 적용하면 승(p)고조파 신호

과도 과정이 완료된 후 출력에서 ​​고조파 진동이 설정됩니다.

동일한 주파수이지만 방해 행위의 주파수에 따라 진폭과 위상이 다릅니다. 시스템의 동적 속성을 판단하는 데 사용할 수 있습니다. 입력 신호의 주파수에 대한 출력 신호의 진폭 및 위상과 관련된 종속성을 호출합니다. 주파수 특성(CH). 시스템의 동적 특성을 연구하기 위해 시스템의 주파수 응답을 분석하는 것을 주파수 분석.

우리는 표현을 대신합니다 유(t)그리고 y(t)역학 방정식으로

(aop n + a 1 pn - 1 + a 2 p n - 2 + ... + a n)y = (bop m + b 1 p m-1 + ... + b m)u.

우리는 그것을 고려

pnu = pnUm ejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.

방정식의 왼쪽에 대해서도 유사한 관계를 작성할 수 있습니다. 우리는 다음을 얻습니다.

전달 함수와 유추하여 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

W(j)는 고조파 법칙에 따라 입력 신호가 변할 때 입력에 대한 출력 신호의 비율과 같습니다. 주파수 전달 함수. 식 W(p)에서 단순히 p를 j로 바꾸면 얻을 수 있음을 쉽게 알 수 있습니다.

W(j)는 복소수 함수이므로 다음과 같습니다.

여기서 P() - 실제 주파수 응답(VCH); 질문() - 가상 주파수 응답(MFH); 하지만() - 진폭 주파수 응답(AFC): () - 위상 주파수 응답(PFC). AFC는 출력 및 입력 신호의 진폭 비율, PFC - 입력에 대한 출력 값의 위상 변이를 제공합니다.

;

W(j)가 복소 평면에서 벡터로 표시되면 0에서 +로 변경하면 끝이 다음이라는 곡선을 그립니다. 벡터 호도그래프 W(j), 또는 진폭 - 위상 주파수 응답(APFC)(그림 48).

-에서 0으로 변경할 때 AFC 분기는 실제 축에 대해 이 곡선을 미러링하여 얻을 수 있습니다.

TAU에서는 널리 사용됩니다. 대수 주파수 응답(LFC)(그림 49): 대수 피크 응답(LAFC)땅 대수 위상 응답(LPFC) ().

그들은 전달 함수의 로그를 취하여 얻습니다.

LACH는 스케일링을 위해 20을 곱한 첫 번째 항에서 구하고 10진 로그는 사용하지 않습니다. 즉, L() = 20lgA()입니다. 값 L()은 y축을 따라 표시됩니다. 데시벨.

신호 레벨이 10dB 변경되면 전력이 10배 변경됩니다. 고조파 신호 P의 전력은 진폭 A의 제곱에 비례하므로 신호의 10배 변화는 20dB의 레벨 변화에 해당합니다.

log(P 2 /P 1) = log(A 2 2 /A 1 2) = 20lg(A 2 /A 1).

가로축은 대수 규모로 주파수 w를 나타냅니다. 즉, 가로축의 단일 간격은 w의 10배 변화에 해당합니다. 이러한 간격을 10년. lg(0) = - 이므로 y축은 임의로 그려집니다.

두 번째 항에서 구한 LFC는 축을 따른 눈금만 PFC와 다릅니다. 값()은 y축을 따라 도 또는 라디안으로 표시됩니다. 기본 링크의 경우 - + 를 넘지 않습니다.

주파수 특성은 시스템의 전체 특성입니다. 시스템의 주파수 응답을 알면 전달 기능을 복원하고 매개변수를 결정할 수 있습니다.

피드백.

링크가 덮인 것으로 간주됩니다. 피드백, 출력 신호가 다른 링크를 통해 입력으로 공급되는 경우. 이 경우 입력 동작()에서 피드백 신호를 빼면 피드백을 음수라고 합니다. 피드백 신호가 입력 동작()에 추가되면 피드백을 포지티브라고 합니다.

네거티브 피드백이 있는 폐쇄 회로의 전달 함수(음의 피드백으로 덮인 링크)는 직접 회로의 전달 함수를 1로 나눈 값에 개방 회로의 전달 함수를 더한 것과 같습니다.

포지티브 피드백이 있는 폐쇄 루프 전달 함수는 순방향 루프 전달 함수를 1 빼기 개방 루프 전달 함수로 나눈 것과 같습니다.

22. 23. 사중극자.

회로의 일부 두 가지의 변수(전류, 전압, 전력 등) 간의 관계를 연구하는 문제에서 전기 회로의 분석에서 사중극자 이론이 널리 사용됩니다.

사중극자- 이것은 일반적으로 입력 및 출력이라고 하는 두 쌍의 단자(따라서 그 이름)가 있는 임의 구성 회로의 일부입니다.

4극의 예로는 변압기, 증폭기, 전위차계, 전력선 및 두 쌍의 극을 구별할 수 있는 기타 전기 장치가 있습니다.

일반적으로 사중극자는 다음과 같이 나눌 수 있습니다. 활동적인,에너지원을 포함하는 구조, 및 수동적인,그 가지에 에너지원이 포함되어 있지 않습니다.

사중극자의 방정식을 작성하기 위해 임의의 회로에서 단일 에너지 소스가 있는 분기와 약간의 저항이 있는 다른 분기를 선택합니다(그림 1a 참조).

보상 원칙에 따라 초기 저항을 전압 소스로 교체합니다(그림 1b 참조). 그런 다음 그림 1의 회로에 대한 오버레이 방법을 기반으로 합니다. 1b를 쓸 수 있다

식 (3)과 (4)는 사중극자의 기본 방정식이다. A형 사중극자 방정식이라고도 합니다(표 1 참조). 일반적으로 수동 사중극자의 방정식을 작성하는 방법에는 6가지가 있습니다. 실제로, 사중극자는 2개의 전압과 2개의 전류를 특징으로 합니다. 임의의 두 양은 다른 양으로 표현될 수 있습니다. 4 x 2의 조합의 수가 6이므로 수동 사중극자의 방정식을 작성하는 6가지 형태가 가능하며 이는 표에 나와 있습니다. 1. 다양한 형태의 방정식 작성에 대한 전류의 양의 방향이 그림에 나와 있습니다. 2. 하나 또는 다른 형식의 방정식을 선택하는 것은 해결하려는 문제의 영역과 유형에 따라 결정됩니다.

1 번 테이블. 수동 사중극자의 방정식 작성 형식

양식	방정식	기본방정식의 계수와의 관계
모양	; ;
Y자형	; ;	; ; ; ;
Z자형	; ;	; ; ; ;
H형	; ;	; ; ; ;
G자형	; ;	; ; ; ;
B형	; .	; ; ; .

특성 임피던스 및 계수
대칭 사중극자의 전파

통신에서는 입력 저항이 부하와 동일한 대칭 4 단자 네트워크의 작동 모드가 널리 사용됩니다.

.

이 저항을 특성 저항대칭 사중극자 및 사중극자의 작동 모드,

,

펄스 과도 기능 (가중치 함수, 임펄스 응답)는 Dirac 델타 함수의 형태로 입력 신호에 대한 응답으로 동적 시스템의 출력 신호입니다. 에 디지털 시스템입력 신호는 최소 폭(이산 시스템의 샘플링 주기와 동일) 및 최대 진폭의 단순 펄스입니다. 신호 필터링에 적용하면 필터 커널. 제어 이론, 신호 및 이미지 처리, 통신 이론 및 기타 공학 분야에서 폭넓게 응용됩니다.

정의 [ | ]

임펄스 응답시스템은 초기 조건이 0일 때 단일 임펄스에 대한 응답이라고 합니다.

속성 [ | ]

애플리케이션 [ | ]

시스템 분석 [ | ]

주파수 응답 복원[ | ]

임펄스 응답의 중요한 특성은 시스템 출력에서 ​​신호의 복소 스펙트럼 대 입력 신호의 복소 스펙트럼의 비율로 정의되는 복소 주파수 응답을 기본으로 얻을 수 있다는 사실입니다.

복소 주파수 응답(CFC)은 복소 함수의 해석적 표현입니다. CFC는 복소 평면에 구축되며 작동 주파수 범위에서 벡터 끝의 궤적 곡선입니다. KChKh의 호도그래프. CFC를 구성하려면 일반적으로 최소 실현 주파수에서 차단 주파수(실험 종료 주파수)까지 작동 주파수 범위에서 5-8점이 필요합니다. KCHH뿐만 아니라 시간 특성은 전체 정보선형 동적 시스템의 속성에 대해.

필터의 주파수 응답은 임펄스 응답의 푸리에 변환(디지털 신호의 경우 이산 푸리에 변환)으로 정의됩니다.

H (j ω) = ∫ − ∞ + ∞ h (τ) e − j ω τ d τ (\displaystyle H(j\omega)=\int \limits _(-\infty )^(+\infty )h( \tau)e^(-j\omega \tau )\,d\tau )

러시아 아카데미

물리학과

강의

전기 회로의 과도 및 임펄스 특성

독수리 2009

교육 및 교육 목표:

청중에게 전기 회로의 과도 및 임펄스 특성의 본질을 설명하고 특성 간의 관계를 보여주고 EC의 분석 및 합성을 위해 고려된 특성의 사용에 주의를 기울이고 실용적인 수업을 위한 고품질 준비를 목표로 합니다. .

강의시간 배정

서론 부분 ........................................................................... 5분

연구 질문:

1. 전기 회로의 과도 특성 ........................... 15 min.

2. Duhamel 적분 ........................................................................... 25분

3. 전기 회로의 임펄스 특성. 특성 간의 관계 ........................................................................................... 25분

4. 컨볼루션 적분 ........................................................................... 15분

결론 ........................................................................................... 5분

1. 전기회로의 과도현상 특성

회로의 과도 응답(및 임펄스 응답)은 회로의 시간적 특성, 즉 미리 결정된 영향 및 초기 조건에서 특정 과도 과정을 나타냅니다.

이러한 영향에 대한 응답 측면에서 전기 회로를 비교하려면 회로를 동일한 조건에 둘 필요가 있습니다. 가장 간단하고 편리한 것은 초기 조건이 0입니다.

회로의 과도 응답 는 초기 조건이 0일 때 이 조치의 값에 대한 단계 조치에 대한 연쇄 반응의 비율입니다.

우선순위 ,

단계 동작에 대한 회로의 응답은 어디에 있습니까?

- 단계 동작의 크기 [B] 또는 [A].

및는 충격의 크기로 나누어지기 때문에(이것은 실수임), 실제로는 단일 단계 충격에 대한 사슬의 반응입니다.

회로의 과도 응답이 알려져 있거나 계산할 수 있는 경우 공식에서 이 회로의 응답을 0 NL에서 스텝 동작에 대해 찾을 수 있습니다.

.

흔히 알려진(또는 찾을 수 있는) 회로의 오퍼레이터 전달 함수와 이 회로의 과도 응답 사이의 연결을 설정해 보겠습니다. 이를 위해 연산자 전달 함수의 도입된 개념을 사용합니다.

.

작용의 크기에 대한 라플라스 변환 연쇄 반응의 비율은 연쇄의 작업자 과도 응답입니다.

따라서 .

여기에서 회로의 오퍼레이터 과도 응답은 오퍼레이터 전달 함수에서 찾을 수 있습니다.

회로의 과도 응답을 결정하려면 역 라플라스 변환을 적용해야 합니다.

대응표 또는 (예비적으로) 확장 정리를 사용합니다.

예: 직렬 회로에서 정전용량에 대한 전압 응답에 대한 과도 응답을 결정합니다(그림 1).

다음은 값이 있는 단계 작업에 대한 응답입니다.

,

과도 응답:

.

가장 일반적인 회로의 과도 특성은 참조 문헌에 나와 있습니다.

2. Duhamel 적분

과도 응답은 종종 복잡한 동작에 대한 회로의 응답을 찾는 데 사용됩니다. 이 비율을 설정합시다.

동작이 연속 함수이고 시간에 회로에 적용되고 초기 조건이 0이라는 데 동의합시다.

주어진 동작은 순간에 회로에 가해지는 스텝동작과 연속적으로 이어지는 무한개의 작은 스텝동작의 합으로 나타낼 수 있다. 적용 순간에 해당하는 이러한 기본 동작 중 하나가 그림 2에 나와 있습니다.

어떤 시점에서 연쇄반응의 값을 구해보자.

시간에 따라 강하가 있는 단계 동작은 강하와 회로의 과도 응답 값의 곱과 동일한 반응을 유발합니다. 즉, 다음과 같습니다.

차이가 있는 무한히 작은 스텝 동작은 무한히 작은 반응을 일으킨다 , 여기서 충격이 가해진 순간부터 관찰 순간까지 경과된 시간은 입니다. 함수가 연속적이므로 다음을 수행합니다.

중첩의 원리에 따라 반응은 관찰 순간 이전의 영향의 총체로 인한 반응의 합과 같습니다.

.

일반적으로 마지막 수식에서는 찾은 수식이 모든 시간 값에 대해 정확하기 때문에 다음으로 간단히 바꿉니다.

.

또는 간단한 변환 후:

.

이러한 비율은 회로의 알려진 과도 응답에 따라 주어진 연속 동작에 대한 선형 전기 회로의 응답을 계산하는 문제를 해결합니다. 이러한 관계를 Duhamel 적분이라고 합니다.

3. 전기회로의 임펄스 특성

임펄스 응답 회로 초기 조건이 0일 때 이 동작 영역에 대한 충동 동작에 대한 회로의 응답 비율입니다.

우선순위 ,

임펄스 작용에 대한 회로의 응답은 어디입니까?

충격 임펄스의 영역입니다.

회로의 알려진 임펄스 응답에 따르면 주어진 동작에 대한 회로의 반응을 찾을 수 있습니다. .

작용 함수로는 단일 임펄스 작용이 자주 사용되며 델타 함수 또는 디랙 함수라고도 합니다.

델타 함수는 다음을 제외하고 모든 곳에서 0과 같은 함수이며 면적은 1()과 같습니다.

.

델타 함수의 개념은 다음과 같은 경우 높이와 지속 시간이 있는 직사각형 펄스의 한계를 고려하여 얻을 수 있습니다(그림 3).

연산자 방법을 사용하는 회로의 전달 함수와 임펄스 응답 간의 연결을 설정해 보겠습니다.

우선:

.

충격 (원본)이 펄스 영역과 델타 함수의 곱 형태, 즉 형식으로 가장 일반적인 경우로 고려되는 경우 대응표에 따른이 영향의 이미지는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

그런 다음 다른 한편으로 작용 임펄스 면적의 값에 대한 회로의 라플라스 변환 반응의 비율은 회로의 작업자 임펄스 응답입니다.

.

따라서, .

회로의 임펄스 응답을 찾으려면 역 라플라스 변환을 적용해야 합니다.

즉, 사실.

공식을 일반화하면 회로의 오퍼레이터 전달 함수와 회로의 오퍼레이터 과도 및 임펄스 응답 사이의 관계를 얻을 수 있습니다.

따라서 회로의 특성 중 하나를 알면 다른 특성을 결정할 수 있습니다.

중간 부분에 를 추가하여 평등의 동일한 변환을 만들어 보겠습니다.

그러면 우리는 갖게 될 것입니다.

과도 응답의 도함수 이미지이므로 원래 동등성은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

원본 영역으로 이동하여 알려진 과도 응답에서 회로의 임펄스 응답을 결정할 수 있는 공식을 얻습니다.

그렇다면 .

표시된 특성 간의 역 관계는 ​​다음과 같은 형식을 갖습니다.

.

전달 함수에 따르면 함수의 구성에서 용어의 존재를 쉽게 설정할 수 있습니다.

분자와 분모의 차수가 같으면 해당 용어가 나타납니다. 함수가 고유분수이면 이 항은 존재하지 않습니다.

예: 그림 4에 표시된 직렬 회로와 전압에 대한 임펄스 응답을 결정합니다.

정의하자:

서신 표에 따라 원본으로 넘어 갑시다.

.

이 함수의 그래프는 그림 5에 나와 있습니다.

쌀. 5

전송 기능:

서신 표에 따르면 다음이 있습니다.

.

결과 함수의 그래프는 그림 6에 나와 있습니다.

와 사이의 연결을 설정하는 관계를 사용하여 동일한 표현을 얻을 수 있음을 지적합시다.

물리적 의미에서 임펄스 응답은 자유 진동의 과정을 반영하며 이러한 이유로 실제 회로에서는 다음 조건이 항상 충족되어야 한다고 주장할 수 있습니다.

4. 컨볼루션 적분(오버레이)

이 회로의 임펄스 응답이 알려진 경우 복잡한 효과에 대한 선형 전기 회로의 응답을 결정하는 절차를 고려하십시오. 영향이 그림 7에 표시된 부분 연속 함수라고 가정합니다.

어떤 시점에서 반응의 값을 찾는 것이 필요하다고 하자. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 무한 지속 시간의 직사각형 펄스의 합으로 충격을 표현합니다. 그 중 하나는 시간 모멘트에 해당하며 그림 7에 나와 있습니다. 이 펄스는 지속 시간과 높이가 특징입니다.

이전에 고려한 자료에서 짧은 임펄스에 대한 회로의 응답은 회로의 임펄스 응답과 임펄스 작용 영역의 곱과 동일한 것으로 간주될 수 있음이 알려져 있습니다. 결과적으로, 이 충동적인 행동으로 인해 순간에 반응의 무한히 작은 구성 요소는 다음과 같을 것입니다.

펄스의 면적은 이고 시간은 적용 순간부터 관찰 순간까지 경과합니다.

중첩의 원리를 사용하여 회로의 전체 응답은 무한히 많은 수의 무한히 작은 구성요소의 합으로 정의할 수 있으며, 이는 시간의 순간에 선행하는 무한히 작은 영역 임펄스 작용의 시퀀스로 인해 발생합니다.

따라서:

.

이 공식은 모든 값에 적용되므로 변수는 일반적으로 간단하게 표시됩니다. 그 다음에:

.

결과 관계를 합성곱 적분 또는 오버레이 적분이라고 합니다. 컨볼루션 적분을 계산한 결과 찾은 함수를 컨볼루션 및 .

결과 표현식의 변수를 다음과 같이 변경하면 다른 형태의 컨볼루션 적분을 찾을 수 있습니다.

.

예: 입력에서 형식의 지수 임펄스가 작용하는 경우 직렬 회로의 커패시턴스 양단 전압을 찾으십시오(그림 8).

컨볼루션 적분을 사용합시다.

.

에 대한 표현 더 일찍 받았습니다.

따라서, , 그리고 .

Duhamel 적분을 적용하여 동일한 결과를 얻을 수 있습니다.

문학:

Beletsky A.F. 선형 전기 회로 이론. - M .: 라디오 및 통신, 1986. (교과서)

Bakalov V. P. et al.전기 회로 이론. - M .: 라디오 및 통신, 1998. (교과서);

Kachanov N. S. et al. 선형 무선 엔지니어링 장치. M.: 본. ed., 1974. (교과서);

Popov V.P. 회로 이론의 기초 - M .: 고등 학교, 2000. (교과서)

회로의 시간적 특성을 원래 신호의 일반적인 구성 요소에 대한 응답이라고 합니다.

회로의 과도 응답은 단일 기능(Heaviside 기능)의 동작에 대한 초기 조건이 0인 회로의 응답입니다. 과도 응답은 연산자로 나누어 연산자 전달 함수에서 결정되고, 잔차를 통한 역 라플라스 변환을 사용하여 결과 이미지에서 원본을 찾습니다.

회로의 임펄스 응답은 델타 함수의 작용에 대한 회로의 응답입니다. - 지속 시간이 무한히 짧고 단위 면적의 펄스 진폭이 무한히 큽니다. 임펄스 응답은 회로의 전달 함수에서 잔류물을 찾아 결정됩니다.

또한 연산자 방법으로 회로의 시간적 특성을 검색합니다. 이렇게하려면 입력 신호의 연산자 이미지를 찾고 연산자 형식의 전달 계수를 곱하고 결과 표현식에서 원본을 찾아야합니다. 즉, 회로의 전달 계수를 알면 응답을 찾을 수 있습니다 어떤 영향에도.

임펄스 응답을 찾는 것은 델타 함수에 대한 회로의 응답을 찾는 것으로 귀결됩니다. 델타 함수의 경우 이미지가 1인 것으로 알려져 있습니다. 역 라플라스 변환을 적용하여 임펄스 응답을 찾습니다.

.

분자와 분모에서 가장 높은 계수의 차수가 같기 때문에 회로의 전달 함수에 대해 정수 부분을 선택합니다.

분모를 0으로 하여 전달 함수의 특이점을 찾습니다.

우리는 단 하나의 특이점만을 가지고 있습니다. 이제 우리는 이 특이점에서 잔차를 취합니다.

임펄스 응답에 대한 식은 다음과 같이 작성됩니다.

유사하게, 우리는 Heaviside 함수의 경우 이미지가 함수임을 알고 회로의 과도 응답을 찾습니다.

; , ;

과도 및 임펄스 응답은 상호 연결되어 있으며 입력 작업은 다음과 같습니다.

회로의 주파수와 시간 특성 사이의 제한 관계, 즉 다음 조건의 충족:

우리는 시스템에 회로의 특성에 대한 특정 표현을 대체합니다.

.

보시다시피 조건이 충족되어 찾은 공식의 정확성을 나타냅니다.

정규화를 고려하여 시간 특성에 대한 최종 공식을 작성해 보겠습니다.

위의 공식에 따라 우리는 이러한 기능의 그래프를 구성합니다.

푸리에 신호 아날로그 선형

그림 2.5 - 임펄스 응답 아날로그 필터 프로토타입

그림 2.6 - 아날로그 프로토타입 필터의 단계 응답

응답이 영향을 미칠 수 없기 때문에 시간적 특성은 에만 존재합니다.

우리 회로는 미분기이므로 과도 응답은 다음과 같이 동작합니다. 미분 회로는 트랜션트를 날카롭게 하고 리딩 에지를 건너뜁니다. 과거의 고주파는 "던짐"을 담당하고 통과하지 못한 저주는 차단을 담당합니다.

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임펄스 응답을 결정하려면 g(티, τ), 여기서 τ는 노출 시간, 티- 응답의 발생 시간 및 동작은 회로의 주어진 매개변수에 따라 직접 회로의 미분 방정식을 사용해야 합니다.

찾는 방법을 분석하기 위해 g(티, τ), 1차 방정식으로 설명되는 간단한 체인을 고려하십시오.

어디 에프(티) - 영향, 와이(티) - 응답.

정의에 따르면 임펄스 응답은 단일 델타 펄스 δ( 티-τ) 현재 입력에 공급 티= τ. 이 정의에서 방정식의 오른쪽에 대입하면 에프(티)=δ( 티-τ), 왼쪽에서 우리는 와이(티)=g(티,).

따라서 우리는 방정식에 도달합니다.

.

이 방정식의 우변은 점을 제외하고 모든 곳에서 0과 같기 때문에 티=τ, 함수 g(티)는 균질 미분 방정식의 해 형태로 구할 수 있습니다.

이전 방정식과 임펄스 적용 순간 δ( 티-τ) 회로에 전류와 전압이 없습니다.

마지막 방정식에서 변수는 다음과 같이 구분됩니다.

어디
- 충격 순간의 임펄스 응답 값.

디 초기 값을 결정하려면
원래 방정식으로 돌아가 봅시다. 이 점에서 다음과 같이 나옵니다.
기능 g(티) 1/만큼 점프해야 합니다. ㅏ 1(τ), 왜냐하면 이 조건 하에서만 원래 방정식의 첫 번째 항 ㅏ 1 (티)[dg/dt]는 델타 함수 δ( 티-τ).

부터

, 그 순간에

.

무한 적분을 가변 적분 상한이 있는 확정 적분으로 바꾸면 임펄스 응답을 결정하기 위한 관계를 얻을 수 있습니다.

임펄스 응답을 알면 두 축이 한 쌍의 푸리에 변환으로 연결되기 때문에 선형 매개변수 회로의 전달 함수를 결정하는 것은 어렵지 않습니다.

어디 ㅏ=티-τ - 신호 지연. 기능 g 1 (티,ㅏ)는 함수에서 얻습니다.
교체 τ= 고마워.

마지막 표현과 함께 전달 함수의 또 다른 정의를 얻을 수 있습니다. 여기서 임펄스 응답은 g 1 (티,ㅏ) 보이지 않는다. 이를 위해 응답에 대해 역 푸리에 변환을 사용합니다. 에스출구 ( 티):

.

입력 신호가 고조파 진동인 경우, 에스(티)=cosω 0 티. 동 에스(티) 분석 신호가 있습니다
.

이 신호의 스펙트럼 평면

교체
대신에
마지막 공식으로, 우리는

여기에서 다음을 찾습니다.

여기 지출구 ( 티) - 출력 신호에 해당하는 분석 신호 에스출구 ( 티).

따라서 고조파 작용의 출력 신호

다른 선형 회로와 동일한 방식으로 정의됩니다.

전달 함수의 경우 케이(제이ω 0 , 티) 기본 주파수 Ω을 갖는 주기적 법칙에 따른 시간 변화는 푸리에 급수로 나타낼 수 있습니다.

어디
- 일반적으로 복잡한 시간 독립 계수, 일정한 매개변수가 있는 일부 사중극자의 전달 함수로 해석될 수 있습니다.

일하다

두 개의 사중극자의 캐스케이드(직렬) 연결의 전달 함수로 간주될 수 있습니다. 하나는 전달 함수가 있습니다.
, 시간에 관계없이 전달 함수가 있는 초
, 시간에 따라 변하지만 입력 신호의 주파수 ω 0 에 의존하지 않습니다.

마지막 식을 기반으로 주기적으로 변경되는 매개변수가 있는 모든 매개변수 회로는 다음 등가 회로로 나타낼 수 있습니다.

출력 신호의 스펙트럼에서 새로운 주파수를 형성하는 과정은 어디에 있습니까?

출력의 분석 신호는 다음과 같습니다.

여기서 φ 0 , φ 1 , φ 2 ...는 사중극자의 위상 특성입니다.

출력에서 실제 신호를 전달하면 다음을 얻습니다.

이 결과는 가변 매개변수가 있는 회로의 다음 속성을 나타냅니다. 기본 주파수가 있는 복잡하지만 주기적인 법칙에 따라 전달 함수를 변경할 때

Ω,  주파수 ω 0의 고조파 입력 신호는 회로의 출력에서 ​​주파수 ω 0 , ω 0 ±Ω, ω 0 ±2Ω 등을 포함하는 스펙트럼을 형성합니다.

복잡한 신호가 회로의 입력에 적용되면 위의 모든 사항이 각 주파수 ω와 입력 스펙트럼에 적용됩니다. 물론 선형 매개변수 회로에서는 입력 스펙트럼의 개별 구성 요소(중첩 원리)와 다음 형식의 주파수 간에 상호 작용이 없습니다. N ω 1 ± 중ω 2 여기서 ω 1 및 ω 2 - 입력 신호의 다른 주파수.