Ескерту:
Егер берілген болса, әрекеттерді тек бір санау жүйесінде орындауға болады әртүрлі жүйелерсанау жүйесі, алдымен барлық сандарды бір санау жүйесіне түрлендіру
Егер сіз негізі 10-нан үлкен санау жүйесімен жұмыс істеп жатсаңыз және сіздің мысалыңызда әріп болса, оны ондық жүйедегі санмен ойша ауыстырыңыз, қажетті амалдарды орындаңыз және нәтижені бастапқы санау жүйесіне түрлендіріңіз.

Қосымша:
Бастауыш мектепте бағанға, орын-орнына қосуды үйреткені бәрінің есінде. Егер цифрды қосқанда 9-дан үлкен сан алынса, одан 10-ды алып тастадық, нәтиже жауапта жазылады, ал келесі цифрға 1 қосылды. Бұдан біз ереже құрастыра аламыз:

1. «Бағанада» бүктеу ыңғайлырақ
2. Орын бойынша қосу, егер > орнындағы цифр берілген санау жүйесінің алфавитінің ең үлкен цифрынан үлкен болса, осы саннан санау жүйесінің негізін шегереміз.
3. Нәтижені қажетті категорияға жазамыз
4. Келесі санға біреуін қосыңыз

Екілік санау жүйесінде 1001001110 және 100111101 қос.

Жауабы: 1110001011

F3B және 5A сандарын он алтылық санау жүйесінде қосыңыз

Жауабы: FE0

Алу: Бастауыш мектепте баған, орын мәнін орын мәнінен алуды қалай үйреткені бәрінің есінде. Егер цифрды азайту кезінде 0-ден кіші сан алынса, біз ең жоғары цифрдан бір «қарызға» алып, қажетті цифрға 10-ды қостық, ал жаңа саннан қажетті санды алып тастадық. Бұдан біз ереже құрастыра аламыз:

1. «Бағанада» шегеру ыңғайлырақ
2. Цифр орнында болса, орны бойынша азайту< 0, вычитаем из старшего разряда 1, а к нужному разряду прибавляем основание системы счисления.
3. Біз азайтуды орындаймыз

Екілік санау жүйесінде 1001001110 санынан 100111101 санын азайт.

Жауабы: D96

Ең бастысы, сізде тек берілген санау жүйесінің сандары бар екенін ұмытпаңыз, сонымен қатар цифрлық терминдер арасындағы ауысулар туралы ұмытпаңыз.
Көбейту:

Басқа санау жүйелеріндегі көбейту біз көбейтуге дағдыланған жолмен жүреді.

1. «Бағанға» көбейту ыңғайлырақ
2. Кез келген санау жүйесінде көбейту ондық жүйедегідей ережелерге бағынады. Бірақ біз тек әліпбиді пайдалана аламыз, берілген жүйеөлі есеп

Екілік санау жүйесінде 10111 санын 1101-ге көбейтіңіз

Жауабы: 984E

Жауабы: 984E

Бөлім:

Басқа санау жүйелеріндегі бөлу біз бөлуге үйренгеніміздей болады.

1. «Бағанға» бөлу ыңғайлырақ
2. Кез келген санау жүйесінде бөлу ондық жүйедегідей ережелерге сәйкес жүзеге асырылады. Бірақ біз санау жүйесімен берілген әліпбиді ғана пайдалана аламыз

Мысалы:

Екілік санау жүйесінде 1011011 санын 1101-ге бөліңіз

Бөлу F 3 B 8 саны үшін он алтылық санау жүйесінде

Ең бастысы, сізде тек берілген санау жүйесінің сандары бар екенін ұмытпаңыз, сонымен қатар цифрлық терминдер арасындағы ауысулар туралы ұмытпаңыз.

ПОЗИЦИЯЛЫ ЕМЕС

Позициялық емес санау жүйелері

Позициялық емес санау жүйелері тарихта алғаш пайда болды. Бұл жүйелерде әрбір цифрлық таңбаның мағынасы тұрақты және оның орнына байланысты емес. Позициялық емес жүйенің ең қарапайым жағдайы бірлік жүйесі болып табылады, ол үшін сандарды белгілеу үшін бір таңба пайдаланылады, әдетте жолақ, кейде нүкте, оның ішінде белгіленген санға сәйкес шама әрқашан орналастырылады:

• 1 - |
• 2 - ||
• 3 - ||| және т.б.

Демек, бұл жалғыз кейіпкердің мағынасы бар бірлік, одан қажетті сан кезекті қосу арқылы алынады:

||||| = 1+1+1+1+1 = 5.

Бірліктер жүйесінің модификациясы - бұл тек бірлікті белгілеу үшін ғана емес, сонымен қатар базаның градустары үшін белгілер бар базасы бар жүйе. Мысалы, 5 саны негіз ретінде алынса, онда 5, 25, 125 және т.б. көрсету үшін қосымша белгілер болады.

Мұндай базалық 10 жүйенің мысалы біздің дәуірімізге дейінгі үшінші мыңжылдықтың екінші жартысында пайда болған ежелгі египеттік жүйе. Бұл жүйеде келесі иероглифтер болды:

• полюс - бірлік,
• доға - ондықтар,
• пальма жапырағы - жүздеген,
• лотос гүлі - мың.

Сандар қарапайым қосу арқылы алынды; реті кез келген болуы мүмкін. Мәселен, 3815 санын белгілеу үшін үш лотос гүлі, сегіз пальма жапырағы, бір доға және бес сырық сызылған. Қосымша белгілері бар күрделі жүйелер - ескі грек, рим. Римдікі де позициялық жүйенің элементін пайдаланады - кішінің алдына үлкен сан қосылады, үлкеннің алдындағы кішісі шегеріледі: IV = 4, бірақ VI = 6, бұл әдіс, алайда, 4, 9, 40, 90, 400, 900, 4000 сандарын және олардың туындыларын қосу арқылы белгілеу үшін ғана қолданылады.

Қазіргі грек және ежелгі орыс жүйелері сандар ретінде әліпбидің 27 әріпін пайдаланды, онда олар 1-ден 9-ға дейінгі әрбір санды, сондай-ақ ондық пен жүздіктерді белгіледі. Бұл тәсіл сандарды қайталамай 1-ден 999-ға дейінгі сандарды жазуға мүмкіндік берді.

Ескі орыс жүйесінде үлкен сандарды көрсету үшін сандардың айналасындағы арнайы жақтаулар пайдаланылды.

Позициялық емес санау жүйесі әлі де барлық жерде ауызша санау жүйесі ретінде қолданылады. Ауызша санау жүйелері тілмен тығыз байланысты және олардың ортақ элементтері негізінен жалпы принциптерге және үлкен сандардың (триллион және одан жоғары) атауларына қатысты. Қазіргі ауызша нөмірлеудің негізінде жатқан жалпы принциптер бірегей атаулардың мағыналарын қосу және көбейту арқылы белгілеулерді қалыптастыруды қамтиды.

Кез келген позициялық санау жүйесінде сандарды қосу және азайту разряд бойынша орындалады. Қосындыны табу үшін бірінші цифрдың бірліктерінен бастап (оң жақта) бірдей цифрдың бірліктері қосылады. Қосылған цифрдың бірліктерінің қосындысы жүйенің негізіне тең саннан асатын болса, онда осы қосындыдан сол жақтағы көрші цифрға қосылатын ең жоғары разрядтың бірлігі таңдалады. Сондықтан қосуды тікелей ондық жүйедегідей «бағанда» бір таңбалы сандарды қосу кестесін пайдаланып жасауға болады.

Мысалы, 4 базалық санау жүйесінде қосу кестесі келесідей болады:

Екілік санау жүйесіндегі қосу кестесі одан да қарапайым:

АлуОны ондық жүйедегідей орындаймыз: минуэнт астындағы азайтуға қол қоямыз және біріншіден бастап цифрлардағы сандарды шегереміз. Егер цифрдағы бірліктерді азайту мүмкін болмаса, біз ең жоғары разрядтағы 1-ді «алып» алып, оны көршілес оң санның бірліктеріне түрлендіреміз.

Екілік санау жүйесіндегі арифметикалық амалдар

Екілік сандарға арифметикалық амалдарды орындау ережелері қосу, алу және көбейту кестелері арқылы нақтыланады.

Қосу амалын орындау ережесі барлық санау жүйелері үшін бірдей: егер қосылатын цифрлардың қосындысы санау жүйесінің базасынан үлкен немесе тең болса, онда бірлік сол жақтағы келесі цифрға ауыстырылады. Шегеру кезінде, қажет болса, несие жасаңыз.

Арифметикалық амалдар сегіздік, он алтылық және басқа санау жүйелерінде бірдей орындалады. Алу кезінде ең жоғары разрядты қосу және алу кезінде келесі цифрға көшу мөлшері санау жүйесінің негізінің мәнімен анықталатынын ескеру қажет.

Сегіздік санау жүйесіндегі арифметикалық амалдар

Сегіздік санау жүйесінде сандарды көрсету үшін сегіз цифр қолданылады (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), өйткені сегіздік санау жүйесінің негізі 8. Барлық операциялар осы сегіз цифр арқылы орындалады. Сегіздік санау жүйесінде қосу және көбейту амалдары келесі кестелер арқылы орындалады:

Сегіздік санау жүйесіндегі қосу және көбейту кестелері

Он алтылық санау жүйесіндегі арифметикалық амалдар

Он алтылық санау жүйесінде сандарды көрсету үшін он алты цифр қолданылады: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Он алтылық жүйеде , он алты саны 10 болып жазылады. Он алтылық жүйеде арифметикалық амалдарды орындау ондық жүйедегідей, бірақ үлкен сандарға арифметикалық амалдарды орындау кезінде он алтылық санау жүйесінде сандарды қосу және көбейту кестелерін пайдалану қажет.

Он алтылық санау жүйесіндегі қосу кестесі

Он алтылық санау жүйесіндегі көбейту кестесі

| Информатика және ақпараттық-коммуникациялық технологиялар | Сабақты жоспарлау және сабақ материалдары | 10 сынып | Оқу жылына арналған сабақтарды жоспарлау (FSES) | Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар

15-сабақ
§12. Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар

Позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар

Негізі бар позициялық санау жүйелеріндегі арифметикалық амалдар qондық санау жүйесіндегі қолданыстағы ережелерге ұқсас ережелер бойынша орындалады.

Бастауыш мектепте балаларды санауға үйрету үшін қосу және көбейту кестелері қолданылады. Ұқсас кестелерді кез келген позициялық санау жүйесі үшін құрастыруға болады.

12.1. q негізі бар санау жүйесіндегі сандарды қосу

Үштік (3.2-кесте), сегіздік (3.4-кесте) және он алтылық (3.3-кесте) санау жүйелеріндегі қосу кестелерінің мысалдарын қарастырыңыз.

3.2-кесте

Үштік санау жүйесіндегі қосу

3.3-кесте

Он алтылық санау жүйесіндегі қосу

3.4-кесте

Сегіздік санау жүйесіндегі қосу

qсоманы алыңыз Секі сан АЖәне Б, оларды құрайтын цифрларды цифрлар арқылы қорытындылау керек меноңнан солға қарай:

Егер a i + b i< q, то s i = a i + b i , старший (i + 1)-й разряд не изменяется;
егер a i + b i ≥ q, онда s i = a i + b i - q болса, ең маңызды (i + 1)-ші цифр 1-ге көбейтіледі.

Мысалдар:

12.2. Негізгі q санау жүйесіндегі сандарды азайту

Осылайша, негізі бар санау жүйесінде qайырмашылықты алыңыз Рекі сан АЖәне IN, цифрлар арқылы оларды құрайтын цифрлар арасындағы айырмашылықтарды есептеу керек меноңнан солға қарай:

Егер a i ≥ b i, онда r i = a i - b i, ең маңызды (i + 1)-ші цифр өзгермейді;
егер а мен< b i , то r i = a i - b i + g, старший (i + 1)-й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде).