Objetivo: aprender a calcular el período de revolución de un satélite alrededor de un planeta en función de su masa, tamaño y tipo de satélite.
Avance del trabajo:
1. Dibuja en tu cuaderno la tabla que se presenta en la parte inferior de la tabla.
2. Calcula el período orbital de cada satélite de cada planeta y presenta el resultado en la tabla de la página. Se sabe que un planeta que es 2 veces más pesado que la Tierra tiene un tamaño 1,4 veces mayor, y un planeta que es más pequeño que la Tierra en masa tiene 0,8 veces el tamaño de la Tierra. Los datos deben tomarse de la ventana de información en la página "Simulación del movimiento del satélite". El radio de la Tierra se considera de 6400 km. La respuesta debe expresarse en minutos, redondeado al número entero más cercano.
3. Verifique los datos que recibió. Para hacer esto, haga clic en el botón "Verificar resultados".
4. Si hay errores, corríjalos.
5. Anota en una tabla de tu cuaderno los datos correctos obtenidos.
6. Saca una conclusión sobre cómo el período orbital del satélite depende del tamaño del planeta y del tipo de satélite.
2.2.2. Movimiento bajo influencia gravedad (satélites)
Cuando los satélites se mueven (con el motor apagado) en una órbita circular, solo actúa sobre ellos una fuerza: la fuerza de atracción del satélite hacia el planeta.
Un satélite que tiene una masa m y se mueve en una órbita circular a una altura h sobre la superficie del planeta (figura 2.2) se ve afectado únicamente por la fuerza de la gravedad.
Arroz. 2.2
Esta fuerza se dirige hacia el centro del planeta e imparte aceleración centrípeta al satélite. En este caso la relación es válida.
GRAMO metro Señor r 2 = metro v 2 r,
permitiéndonos obtener una fórmula para el cálculo velocidad de escape satélite:
donde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - constante gravitacional universal; metro - peso corporal; r = R + h - radio orbital; R es el radio del planeta; h es la altura del satélite sobre la superficie del planeta.
Hay velocidades cósmicas primera, segunda y tercera. Para el planeta Tierra:
- primera velocidad de escape- la velocidad mínima impartida al satélite cerca de la superficie de la Tierra a la que puede entrar en una órbita circular y comenzar a girar alrededor de la Tierra en una órbita terrestre baja (h ≈ 0),
v1 ≈ 7,9 km/s;
- segunda velocidad de escape- la velocidad mínima impartida a un satélite cerca de la superficie de la Tierra a la que puede alejarse de la Tierra a una gran distancia y convertirse en un satélite del Sol,
v2 ≈ 11,2 km/s;
- tercera velocidad de escape- la velocidad mínima comunicada al satélite cerca de la superficie de la Tierra a la que puede abandonar el Sistema Solar; su valor es de aproximadamente 16,6 km/s.
Cuando hablan de la primera velocidad de escape de un planeta, quieren decir que el satélite se mueve a una altitud h ≈ 0, es decir El radio de la órbita del satélite r coincide con el radio del planeta R:
r = R.
Período orbital del satélite alrededor del planeta (tiempo de una revolución) se puede definir como la relación entre la longitud orbital y la primera velocidad de escape:
donde L = 2πr es la longitud de la órbita con radio r (circunferencia); v es la primera velocidad de escape del satélite en esta órbita.
Ejemplo 5. ¿Cuántas veces el período orbital de un satélite artificial que se mueve en una órbita circular a una altitud igual al doble del radio de la Tierra excede el período orbital de un satélite que gira en una órbita terrestre baja?
Solución. El período orbital de un satélite que se mueve en una órbita circular a una altitud h 1 = 2R está determinado por la fórmula
T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,
donde R es el radio de la Tierra; v 1 es la primera velocidad de escape del satélite a la altitud h 1 .
El período orbital de un satélite que se mueve en una órbita terrestre baja (h 2 ≈ 0) está determinado por la fórmula
T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,
donde v 2 es la primera velocidad de escape del satélite en órbita terrestre baja.
Sustituyendo los valores h 1 = 2R y h 2 = 0 en la fórmula para calcular los períodos correspondientes se obtiene:
T 1 = 6 π R v 1 y T 2 = 2 π R v 2 .
Relación de período
T 1 T 2 = 3 contra 2 contra 1
se expresa a través de la relación de las primeras velocidades cósmicas del satélite en las órbitas correspondientes.
Las primeras velocidades cósmicas están determinadas por las siguientes fórmulas:
- para altura h 1 = 2R
v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;
- para altura h 2 ≈ 0 (órbita terrestre)
v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R ,
donde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - constante gravitacional universal; M es la masa de la Tierra.
Sustituyendo v 1 y v 2 en la fórmula para la relación de períodos, obtenemos
T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 GRAMO M R ⋅ 3 R GRAMO M = 3 3 ≈ 5.2.
aquellos. El período orbital de un satélite que se mueve a una altitud igual a dos radios excede el período orbital de un satélite en órbita terrestre baja en aproximadamente 5,2 veces.
Ejemplo 6. El radio de un determinado planeta es 3 veces mayor que el radio de la Tierra y su densidad es 9 veces menor que la densidad de la Tierra. Determine la relación de las primeras velocidades cósmicas de los satélites de la Tierra y del planeta.
Solución. Se comparan las siguientes primeras velocidades de escape:
- para la superficie de la Tierra
v 1 = G M Z R Z,
- para la superficie del planeta
donde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - constante gravitacional universal; MZ - masa de la Tierra; RZ - radio de la Tierra; M es la masa del planeta; R es el radio del planeta.
La relación de velocidad es
v 1 v 2 = M Z R Z R M .
Suponiendo que la Tierra y el planeta tienen forma esférica, obtenemos fórmulas para calcular las masas correspondientes:
- para la tierra
M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,
- para el planeta
METRO = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,
donde ρ Z es la densidad de la Tierra; ρ es la densidad del planeta.
Sustituyamos las expresiones de las masas en la fórmula de la relación de velocidades:
v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ .
Según las condiciones del problema, R = 3R З y ρ З = 9ρ; por lo tanto, la relación de velocidad requerida es igual a
v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1,
aquellos. las velocidades de los satélites son las mismas para la superficie de la Tierra y para la superficie del planeta.
Ejemplo 7. Un satélite gira alrededor de cierto planeta en una órbita circular con un radio de 20.000 km a una velocidad de 12 km/s. Determine la magnitud de la aceleración debida a la gravedad sobre la superficie del planeta si su radio es de 12 000 km.
Solución. Encontramos la aceleración de caída libre en la superficie del planeta usando la fórmula
donde G = 6,67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - constante gravitacional universal; M es la masa del planeta; R es el radio del planeta.
El radio del planeta se especifica en el planteamiento del problema; el producto (GM) se puede expresar a partir de la fórmula para la primera velocidad de escape:
v = G M R + h = G M r ,
donde r es el radio de la órbita del satélite; de ahí el trabajo requerido
GM = v 2 r.
Sustituyamos (GM) en la expresión para calcular g 0:
gramo 0 = v 2 r R 2 .
El cálculo nos permite obtener el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta:
gramo 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2.
En el espacio, la gravedad proporciona la fuerza que hace que los satélites (como la Luna) orbiten cuerpos más grandes (como la Tierra). Estas órbitas generalmente tienen la forma de una elipse, pero la mayoría de las veces esta elipse no es muy diferente de un círculo. Por tanto, en una primera aproximación, las órbitas de los satélites pueden considerarse circulares. Conociendo la masa del planeta y la altura de la órbita del satélite sobre la Tierra, podemos calcular cuál debería ser Velocidad del satélite alrededor de la Tierra..
Cálculo de la velocidad de un satélite alrededor de la Tierra.
Al girar en una órbita circular alrededor de la Tierra, un satélite en cualquier punto de su trayectoria solo puede moverse a una velocidad absoluta constante, aunque la dirección de esta velocidad cambiará constantemente. ¿Cuál es la magnitud de esta velocidad? Se puede calcular utilizando la segunda ley de Newton y la ley de la gravedad.
Para mantener la órbita circular de un satélite de masa de acuerdo con la segunda ley de Newton, se necesitará una fuerza centrípeta: , donde es la aceleración centrípeta.
Como sabes, la aceleración centrípeta está determinada por la fórmula:
donde es la velocidad del satélite, es el radio de la órbita circular a lo largo de la cual se mueve el satélite.
La fuerza centrípeta la proporciona la gravedad, por lo tanto, de acuerdo con la ley de la gravedad:
donde kg es la masa de la Tierra, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 es la constante gravitacional.
Sustituyendo todo en la fórmula original, obtenemos:
Expresando la velocidad requerida, encontramos que la velocidad del satélite alrededor de la Tierra es igual a:
Esta es una fórmula para la velocidad que debe tener un satélite terrestre en un radio determinado (es decir, distancia del centro del planeta) para mantener una órbita circular. La velocidad no puede cambiar de magnitud mientras el satélite mantenga un radio orbital constante, es decir, mientras continúe orbitando el planeta en una trayectoria circular.
Al utilizar la fórmula resultante, hay varios detalles a considerar:
Los satélites artificiales de la Tierra, por regla general, orbitan el planeta a una altitud de 500 a 2000 km desde la superficie del planeta. Calculemos a qué velocidad debería moverse un satélite de este tipo a una altitud de 1000 km sobre la superficie de la Tierra. En este caso km. Sustituyendo los números obtenemos:
Material preparado por Sergei Valerievich
¿Cuántas veces el período de revolución de un satélite artificial que se mueve en una órbita circular a una altitud igual al radio de la Tierra excede el período de revolución de un satélite en órbita terrestre baja?
Problema No. 2.5.14 de la “Colección de problemas de preparación para los exámenes de ingreso a física en la USPTU”
Dado:
\(h=R\), \(\frac(T_2)(T_1)-?\)
Solución al problema:
Encontremos el período orbital \(T_2\) de un satélite que se mueve en una órbita circular a una altitud \(h=R\). Está claro que la fuerza de gravedad universal imparte al satélite aceleración centrípeta \(a_t\), por lo tanto la segunda ley de Newton se escribirá de la siguiente forma:
\[(F_(t2)) = m(a_(t2))\;\;\;\;(1)\]
La fuerza de gravedad está determinada por la ley de gravitación universal:
\[(F_(t2)) = G\frac((Mm))((((\left((R + h) \right))^2)))\;\;\;\;(2)\ ]
Para que el período de revolución aparezca en nuestra fórmula, necesitamos expresar la aceleración centrípeta \(a_(c2)\) a través de él. Para ello, escribimos la fórmula para determinar la aceleración \(a_(q2)\) a través de la velocidad angular y la fórmula para conectar esta última con el período.
\[(a_(t2)) = (\omega ^2)\left((R + h) \right)\]
\[\omega = \frac((2\pi ))(T_2)\]
\[(a_(t2)) = \frac((4(\pi ^2)))(T_2^2)\left((R + h) \right)\;\;\;\;(3)\ ]
Sustituyamos las expresiones (2) y (3) en la igualdad (1):
Hagamos una analogía con un satélite que se mueve en una órbita terrestre baja. Está claro que su período de revolución será igual a:
\[(T_1) = 2\pi \sqrt (\frac(((R^3)))((GM)))\]
Ahora sustituyamos la condición \(h=R\) en la fórmula para determinar el período \(T_2\) (en la fórmula (4)):
\[(T_2) = 2\pi \sqrt (\frac((((\left((R + R) \right))^3)))((GM))) = 2\pi \sqrt (\frac ((8(R^3)))((GM))) \]
La proporción requerida es:
\[\frac(((T_2)))(((T_1))) = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 = 2.83\]
Respuesta: 2,83 veces.
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