লক্ষ্য: একটি গ্রহের ভর, আকার এবং উপগ্রহের প্রকারের উপর নির্ভর করে একটি গ্রহের চারপাশে একটি উপগ্রহের বিপ্লবের সময়কাল গণনা করতে শিখুন।

কাজের অগ্রগতি:

1. টেবিলের নীচে উপস্থাপিত টেবিলটি আপনার নোটবুকে আঁকুন।

2. প্রতিটি গ্রহের জন্য প্রতিটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল গণনা করুন এবং ফলাফলটি পৃষ্ঠায় টেবিলে উপস্থাপন করুন। এটি জানা যায় যে পৃথিবীর চেয়ে 2 গুণ ভারী একটি গ্রহ আকারে 1.4 গুণ বড় এবং একটি গ্রহ যে ভরে পৃথিবীর চেয়ে ছোট তা পৃথিবীর আকারের 0.8 গুণ। "স্যাটেলাইট গতির সিমুলেশন" পৃষ্ঠার তথ্য উইন্ডো থেকে ডেটা অবশ্যই নিতে হবে। পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6400 কিমি ধরা হয়। উত্তরটি মিনিটের মধ্যে প্রকাশ করা উচিত, নিকটতম পূর্ণ সংখ্যায় বৃত্তাকার।

3. আপনি প্রাপ্ত তথ্য পরীক্ষা করুন. এটি করতে, "ফলাফল পরীক্ষা করুন" বোতামে ক্লিক করুন।

4. ভুল থাকলে সেগুলো সংশোধন করুন।

5. আপনার নোটবুকের একটি টেবিলে প্রাপ্ত সঠিক তথ্যটি লিখুন।

6. কিভাবে উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল গ্রহের আকার এবং উপগ্রহের প্রকারের উপর নির্ভর করে সে সম্পর্কে একটি উপসংহার আঁকুন।

2.2.2। প্রভাবাধীন আন্দোলন মাধ্যাকর্ষণ (উপগ্রহ)

যখন উপগ্রহগুলি একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে (ইঞ্জিন বন্ধ করে) সরে যায়, তখন শুধুমাত্র একটি শক্তি তাদের উপর কাজ করে - গ্রহের প্রতি উপগ্রহের আকর্ষণ শক্তি।

একটি স্যাটেলাইট যার ভর m এবং গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলে (চিত্র 2.2) শুধুমাত্র মাধ্যাকর্ষণ বল দ্বারা প্রভাবিত হয়।

ভাত। 2.2

এই বলটি গ্রহের কেন্দ্রের দিকে পরিচালিত হয় এবং উপগ্রহকে কেন্দ্রীভূত ত্বরণ প্রদান করে। এক্ষেত্রে সম্পর্কটি বৈধ

G m M r 2 = m v 2 r,

আমাদের গণনার জন্য একটি সূত্র প্রাপ্ত করার অনুমতি দেয় পালানোর বেগউপগ্রহ:

যেখানে G = 6.67 ⋅ 10 −11 N ⋅ m 2 /kg 2 - সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক; মি - শরীরের ওজন; r = R + h - কক্ষপথ ব্যাসার্ধ; R হল গ্রহের ব্যাসার্ধ; h হল গ্রহের পৃষ্ঠের উপরে উপগ্রহের উচ্চতা।

প্রথম, দ্বিতীয় এবং তৃতীয় মহাজাগতিক বেগ আছে। পৃথিবীর গ্রহের জন্য:

• প্রথম পালানোর বেগ- পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি স্যাটেলাইটকে দেওয়া ন্যূনতম গতি যেখানে এটি একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে প্রবেশ করতে পারে এবং নিম্ন-আর্থ কক্ষপথে পৃথিবীর চারপাশে ঘূর্ণন শুরু করতে পারে (h ≈ 0),

v 1 ≈ 7.9 কিমি/সেকেন্ড;

• দ্বিতীয় পালানোর বেগ- পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি একটি উপগ্রহে প্রদত্ত ন্যূনতম গতি যেখানে এটি পৃথিবী থেকে অনেক দূরে সরে যেতে পারে এবং সূর্যের উপগ্রহে পরিণত হতে পারে,

v 2 ≈ 11.2 কিমি/সেকেন্ড;

• তৃতীয় পালানোর বেগ- পৃথিবীর পৃষ্ঠের কাছাকাছি স্যাটেলাইটকে রিপোর্ট করা ন্যূনতম গতি যেখানে এটি সৌরজগত ছেড়ে যেতে পারে; এর মান প্রায় 16.6 কিমি/সেকেন্ড।

যখন তারা একটি গ্রহের জন্য প্রথম পালানোর বেগ সম্পর্কে কথা বলে, তখন তারা বোঝায় যে উপগ্রহটি h ≈ 0 উচ্চতায় চলছে, অর্থাৎ উপগ্রহের কক্ষপথ r এর ব্যাসার্ধ R গ্রহের ব্যাসার্ধের সাথে মিলে যায়:

r = আর.

স্যাটেলাইট অরবিটাল সময়কালগ্রহের চারপাশে (একটি বিপ্লবের সময়) কক্ষপথের দৈর্ঘ্যের প্রথম পালানোর বেগের অনুপাত হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

যেখানে L = 2πr হল কক্ষপথের দৈর্ঘ্য যার ব্যাসার্ধ r (পরিধি); v হল এই কক্ষপথে স্যাটেলাইটের প্রথম এস্কেপ বেগ।

উদাহরণ 5. পৃথিবীর দ্বিগুণ ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলমান একটি কৃত্রিম উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল নিম্ন-পৃথিবী কক্ষপথে আবর্তিত একটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল অতিক্রম করে?

সমাধান। h 1 = 2R উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলমান একটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

T 1 = 2 π (R + h 1) v 1,

যেখানে R হল পৃথিবীর ব্যাসার্ধ; v 1 হল h 1 উচ্চতায় স্যাটেলাইটের প্রথম পালানোর বেগ।

নিম্ন-পৃথিবী কক্ষপথে চলমান একটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল (h 2 ≈ 0) সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

T 2 = 2 π (R + h 2) v 2,

যেখানে v 2 হল লো-আর্থ কক্ষপথে স্যাটেলাইটের প্রথম পালানোর বেগ।

সংশ্লিষ্ট সময়কাল গণনার সূত্রে h 1 = 2R এবং h 2 = 0 মানগুলিকে প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

T 1 = 6 π R v 1 এবং T 2 = 2 π R v 2।

সময়কাল অনুপাত

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1

সংশ্লিষ্ট কক্ষপথে স্যাটেলাইটের প্রথম মহাজাগতিক বেগের অনুপাতের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।

প্রথম মহাজাগতিক বেগ নিম্নলিখিত সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

• উচ্চতার জন্য h 1 = 2R

v 1 = G M R + h 1 = G M R + 2 R = G M 3 R ;

• উচ্চতার জন্য h 2 ≈ 0 (পৃথিবী কক্ষপথ)

v 2 = G M R + h 2 = G M R + 0 = G M R ,

যেখানে G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক; M হল পৃথিবীর ভর।

পিরিয়ডের অনুপাতের সূত্রে v 1 এবং v 2 প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই

T 1 T 2 = 3 v 2 v 1 = 3 G M R ⋅ 3 R G M = 3 3 ≈ 5.2।

যারা একটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল দুই ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতায় গতিশীল একটি স্যাটেলাইটের কক্ষপথের সময়কালকে লো-আর্থ কক্ষপথে প্রায় 5.2 গুণ বেশি করে।

উদাহরণ 6. একটি নির্দিষ্ট গ্রহের ব্যাসার্ধ পৃথিবীর ব্যাসার্ধের চেয়ে 3 গুণ বেশি এবং এর ঘনত্ব পৃথিবীর ঘনত্বের চেয়ে 9 গুণ কম। পৃথিবী এবং গ্রহের জন্য উপগ্রহের প্রথম মহাজাগতিক বেগের অনুপাত নির্ণয় কর।

সমাধান। নিম্নলিখিত প্রথম পালানোর বেগ তুলনা করা হয়:

• পৃথিবীর পৃষ্ঠের জন্য

v 1 = G M Z R Z,

• গ্রহের পৃষ্ঠের জন্য

যেখানে G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক; MZ - পৃথিবীর ভর; RZ - পৃথিবীর ব্যাসার্ধ; M হল গ্রহের ভর; R হল গ্রহের ব্যাসার্ধ।

গতির অনুপাত হল

v 1 v 2 = M Z R Z R M।

ধরি যে পৃথিবী এবং গ্রহের একটি গোলাকার আকৃতি আছে, আমরা সংশ্লিষ্ট ভর গণনা করার জন্য সূত্রগুলি পাই:

• পৃথিবীর জন্য

M Z = ρ Z V Z = 4 3 π ρ Z R Z 3,

• গ্রহের জন্য

M = ρ V = 4 3 π ρ R 3 ,

যেখানে ρ Z হল পৃথিবীর ঘনত্ব; ρ হল গ্রহের ঘনত্ব।

গতির অনুপাতের সূত্রে ভরের অভিব্যক্তিগুলিকে প্রতিস্থাপন করা যাক:

v 1 v 2 = 4 3 π ρ З R З 3 R З 3 4 R π ρ R 3 = ρ З R З 2 ρ R 2 = R З R ρ З ρ।

সমস্যার শর্ত অনুযায়ী, R = 3R З এবং ρ З = 9ρ; অতএব, প্রয়োজনীয় গতির অনুপাত সমান

v 1 v 2 = R З 3 R З 9 ρ ρ = 1,

যারা স্যাটেলাইটের গতি পৃথিবীর পৃষ্ঠ এবং গ্রহের পৃষ্ঠের জন্য একই।

উদাহরণ 7. একটি উপগ্রহ 12 কিমি/সেকেন্ড গতিতে 20,000 কিমি ব্যাসার্ধ সহ একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে একটি নির্দিষ্ট গ্রহের চারপাশে ঘোরে। গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষের কারণে ত্বরণের মাত্রা নির্ধারণ করুন যদি এর ব্যাসার্ধ 12,000 কিমি হয়।

সমাধান। আমরা সূত্র ব্যবহার করে গ্রহের পৃষ্ঠে বিনামূল্যে পতনের ত্বরণ খুঁজে পাই

যেখানে G = 6.67 ⋅ 10 −11 N m 2 /kg 2 - সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক; M হল গ্রহের ভর; R হল গ্রহের ব্যাসার্ধ।

গ্রহের ব্যাসার্ধ সমস্যা বিবৃতিতে নির্দিষ্ট করা হয়েছে (GM) প্রথম এস্কেপ বেগের সূত্র থেকে প্রকাশ করা যেতে পারে:

v = G M R + h = G M r ,

যেখানে r হল উপগ্রহের কক্ষপথের ব্যাসার্ধ; তাই প্রয়োজনীয় কাজ

GM = v 2 r.

g 0 গণনা করতে এক্সপ্রেশনে (GM) প্রতিস্থাপন করা যাক:

g 0 = v 2 r R 2।

গণনা আমাদের গ্রহের পৃষ্ঠে অভিকর্ষের ত্বরণের মান পেতে দেয়:

g 0 = (12 ⋅ 10 3) 2 ⋅ 2, 0 ⋅ 10 7 (12 ⋅ 10 6) 2 = 20 m/s 2।

মহাকাশে, মাধ্যাকর্ষণ শক্তি সরবরাহ করে যা উপগ্রহগুলিকে (যেমন চাঁদ) বৃহত্তর দেহগুলিকে (যেমন পৃথিবী) প্রদক্ষিণ করে। এই কক্ষপথগুলি সাধারণত একটি উপবৃত্তের আকার ধারণ করে, তবে প্রায়শই এই উপবৃত্তটি একটি বৃত্ত থেকে খুব আলাদা হয় না। অতএব, প্রথম অনুমানে, উপগ্রহের কক্ষপথকে বৃত্তাকার হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। গ্রহের ভর এবং পৃথিবীর উপরে উপগ্রহের কক্ষপথের উচ্চতা জেনে, আমরা এটি কী হওয়া উচিত তা গণনা করতে পারি পৃথিবীর চারপাশে স্যাটেলাইটের গতি.

পৃথিবীর চারপাশে একটি উপগ্রহের গতির গণনা

পৃথিবীর চারপাশে একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে ঘূর্ণায়মান, একটি উপগ্রহ তার গতিপথের যে কোনও বিন্দুতে কেবল একটি স্থির পরম গতিতে চলতে পারে, যদিও এই গতির দিকটি ক্রমাগত পরিবর্তিত হবে। এই গতির মাত্রা কত? এটি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র এবং মাধ্যাকর্ষণ সূত্র ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে একটি ভর উপগ্রহের একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ বজায় রাখার জন্য, একটি কেন্দ্রমুখী বলের প্রয়োজন হবে: , কেন্দ্রিক ত্বরণ কোথায়।

হিসাবে পরিচিত, কেন্দ্রবিন্দু ত্বরণ সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়:

স্যাটেলাইটের গতি কোথায়, বৃত্তাকার কক্ষপথের ব্যাসার্ধ যা বরাবর স্যাটেলাইট চলে।

সেন্ট্রিপেটাল বল মাধ্যাকর্ষণ দ্বারা সরবরাহ করা হয়, তাই, মাধ্যাকর্ষণ আইন অনুসারে:

যেখানে kg পৃথিবীর ভর, m 3 ⋅kg -1 ⋅s -2 হল মহাকর্ষীয় ধ্রুবক।

মূল সূত্রে সবকিছু প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

প্রয়োজনীয় গতি প্রকাশ করে, আমরা দেখতে পাই যে পৃথিবীর চারপাশে উপগ্রহের গতি সমান:

এটি একটি বৃত্তাকার কক্ষপথ বজায় রাখার জন্য একটি প্রদত্ত ব্যাসার্ধে (অর্থাৎ গ্রহের কেন্দ্র থেকে দূরত্ব) একটি পৃথিবী উপগ্রহের গতির একটি সূত্র। যতক্ষণ না স্যাটেলাইট একটি ধ্রুবক কক্ষপথ ব্যাসার্ধ বজায় রাখে, অর্থাৎ যতক্ষণ না এটি একটি বৃত্তাকার পথে গ্রহকে প্রদক্ষিণ করতে থাকে ততক্ষণ পর্যন্ত গতি পরিবর্তিত হতে পারে না।

ফলস্বরূপ সূত্র ব্যবহার করার সময়, বিবেচনা করার জন্য বেশ কয়েকটি বিবরণ রয়েছে:

পৃথিবীর কৃত্রিম উপগ্রহ, একটি নিয়ম হিসাবে, গ্রহের পৃষ্ঠ থেকে 500 থেকে 2000 কিলোমিটার উচ্চতায় গ্রহটিকে প্রদক্ষিণ করে। আসুন গণনা করি যে এই জাতীয় উপগ্রহটি পৃথিবীর পৃষ্ঠ থেকে 1000 কিলোমিটার উচ্চতায় কত দ্রুত সরানো উচিত। এক্ষেত্রে কি.মি. সংখ্যাগুলি প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

সের্গেই ভ্যালেরিভিচ দ্বারা প্রস্তুত উপাদান

পৃথিবীর ব্যাসার্ধের সমান উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলমান একটি কৃত্রিম উপগ্রহের বিপ্লবের সময়কাল নিম্ন-পৃথিবী কক্ষপথে একটি উপগ্রহের বিপ্লবের সময়কালকে কতবার অতিক্রম করে?

সমস্যা নং 2.5.14 "USPTU এ পদার্থবিদ্যায় প্রবেশিকা পরীক্ষার প্রস্তুতির জন্য সমস্যার সংগ্রহ" থেকে

প্রদত্ত:

\(h=R\), \(\frac(T_2)(T_1)-?\)

সমস্যার সমাধান:

আসুন একটি উচ্চতায় একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে চলমান একটি উপগ্রহের কক্ষপথের সময়কাল \(T_2\) খুঁজে পাই। এটা স্পষ্ট যে সার্বজনীন মাধ্যাকর্ষণ বল উপগ্রহ কেন্দ্রীভূত ত্বরণকে প্রদান করে \(a_t\), তাই নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রটি নিম্নলিখিত আকারে লেখা হবে:

\[(F_(t2)) = m(a_(t2))\;\;\;\;(1)\]

মহাকর্ষ বল সর্বজনীন মহাকর্ষের নিয়ম দ্বারা নির্ধারিত হয়:

\[(F_(t2)) = G\frac((Mm))((((\left((R + h) \right)^2)))\;\;\;\;(2)\ ]

আমাদের সূত্রে বিপ্লবের সময়কাল উপস্থিত হওয়ার জন্য, আমাদের এটির মাধ্যমে কেন্দ্রীভূত ত্বরণ \(a_(c2)\) প্রকাশ করতে হবে। এটি করার জন্য, আমরা কৌণিক বেগের মাধ্যমে ত্বরণ \(a_(q2)\) নির্ণয় করার সূত্র এবং পরেরটির সাথে পিরিয়ডের সংযোগের সূত্র লিখি।

\[(a_(t2)) = (\omega ^2)\left((R + h) \right)\]

\[\omega = \frac((2\pi ))(T_2)\]

\[(a_(t2)) = frac((4(\pi ^2)))(T_2^2)\left((R + h) \right)\;\;\;\;(3)\ ]

চলুন (2) এবং (3) সমতা (1) এ অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করা যাক:

লো-আর্থ কক্ষপথে চলমান একটি উপগ্রহের জন্য একটি উপমা তৈরি করা যাক। এটা স্পষ্ট যে এর বিপ্লবের সময়কাল সমান হবে:

\[(T_1) = 2\pi \sqrt (\frac(((R^3)))((GM)))\]

এখন পিরিয়ড নির্ণয়ের সূত্রে \(h=R\) শর্তটি প্রতিস্থাপন করা যাক \(T_2\) (সূত্রে (4)):

\[(T_2) = 2\pi \sqrt (\frac(((\left((R + R) \right)^3)))((GM))) = 2\pi \sqrt (\frac ((8(R^3)))((GM))) \]

প্রয়োজনীয় অনুপাত হল:

\[\frac(((T_2)))((T_1))) = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 = 2.83\]

উত্তর: 2.83 বার।

আপনি যদি সমাধানটি বুঝতে না পারেন এবং আপনার কোন প্রশ্ন থাকে বা আপনি একটি ত্রুটি খুঁজে পেয়েছেন, তাহলে নির্দ্বিধায় নীচে একটি মন্তব্য করুন।